ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 331 Алимов — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

1. y= log8(x2-3x-4);
2. y= log корень 3(-x2+5x+6);
3. y=log0,7(x2-9)/(x+5);
4. y=log1/3(x-4)/(x2+4);
5. y= log пи(2x-2);
6. y= log3(3^(x-1) — 9).

Найти область определения функции.

1) $y = \log_8(x^2 — 3x — 4)$

Выражение имеет смысл при:
$x^2 — 3x — 4 > 0;$

Решаем неравенство:

• Найдем корни квадратного уравнения $x^2 — 3x — 4 = 0$:

  $$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25;$$ $$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$$

• Разложим на множители:

  $$(x + 1)(x — 4) > 0;$$

• Решаем методом интервалов:

  $$x < -1 \quad \text{или} \quad x > 4;$$

Ответ:

$$x < -1; \quad x > 4.$$

2) $y = \log_{\sqrt{3}}(-x^2 + 5x + 6)$

Выражение имеет смысл при:
$-x^2 + 5x + 6 > 0;$

Решаем неравенство:

• Перепишем в виде:

  $$x^2 — 5x — 6 < 0;$$

• Найдем корни квадратного уравнения $x^2 — 5x — 6 = 0$:

  $$D = 5^2 + 4 \cdot 6 = 25 + 24 = 49;$$ $$x_1 = \frac{5 — 7}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{5 + 7}{2} = 6;$$

• Разложим на множители:

  $$(x + 1)(x — 6) < 0;$$

• Решаем методом интервалов:

  $$-1 < x < 6;$$

Ответ:

$$-1 < x < 6.$$

3) $y = \log_{0.7} \frac{x^2 — 9}{x + 5}$

Выражение имеет смысл при:
$\frac{x^2 — 9}{x + 5} > 0;$

Решаем неравенство:

• Разложим числитель на множители:

  $$x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3);$$ $$\frac{(x — 3)(x + 3)}{x + 5} > 0;$$

• Решаем методом интервалов:

  $$(x + 5)(x + 3)(x — 3) > 0;$$

• Корни: $x = -5, \, x = -3, \, x = 3$.
• Проверяем знаки на интервалах:

  $$x \in (-\infty, -5) \cup (-3, 3).$$

Ответ:

$$-5 < x < -3; \quad x > 3.$$

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x — 4}{x^2 + 4}$

Выражение имеет смысл при:
$\frac{x — 4}{x^2 + 4} > 0;$

Решаем неравенство:

• Обозначим знаменатель $x^2 + 4$. Поскольку $x^2 + 4 > 0$ для всех $x$, то знак дроби определяется только числовым множителем $x — 4$:

  $$x — 4 > 0;$$ $$x > 4;$$

Ответ:

$$x > 4.$$

5) $y = \log_{\pi}(2^x — 2)$

Выражение имеет смысл при:
$2^x — 2 > 0;$

Решаем неравенство:

• Перепишем:

  $$2^x > 2;$$ $$2^x > 2^1;$$ $$x > 1;$$

Ответ:

$$x > 1.$$

6) $y = \log_3(3^{x-1} — 9)$

Выражение имеет смысл при:
$3^{x-1} — 9 > 0;$

Решаем неравенство:

• Перепишем:

  $$3^{x-1} > 9;$$ $$3^{x-1} > 3^2;$$ $$x — 1 > 2;$$ $$x > 3;$$

Ответ:

$$x > 3.$$

1) $y = \log_8(x^2 — 3x — 4)$

Шаг 1: Условие существования логарифма

Логарифм определён только тогда, когда его аргумент положителен, то есть:

$$x^2 — 3x — 4 > 0$$

Шаг 2: Найдём нули выражения

Решим квадратное уравнение:

$$x^2 — 3x — 4 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Корни:

$$x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm 5}{2}$$ $$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4$$

Шаг 3: Знак выражения

Разложим квадратный трехчлен на множители:

$$x^2 — 3x — 4 = (x + 1)(x — 4)$$

Рассмотрим неравенство:

$$(x + 1)(x — 4) > 0$$

Шаг 4: Метод интервалов

Точки, разбивающие числовую прямую: $x = -1$ и $x = 4$

Знаки на интервалах:

• При $x < -1$: обе скобки отрицательные $(-)(-) = +$
• При $-1 < x < 4$: $(+)(-) = —$
• При $x > 4$: $(+)(+) = +$

Подходит:

$$x < -1 \quad \text{или} \quad x > 4$$

Ответ:

$$x \in (-\infty, -1) \cup (4, \infty)$$

2) $y = \log_{\sqrt{3}}(-x^2 + 5x + 6)$

Шаг 1: Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$-x^2 + 5x + 6 > 0$$

Шаг 2: Умножим обе части на -1 и перевернём знак:

$$x^2 — 5x — 6 < 0$$

Шаг 3: Найдём корни уравнения:

$$x^2 — 5x — 6 = 0$$

Дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$$ $$x_{1,2} = \frac{5 \pm 7}{2} \Rightarrow x_1 = -1, \quad x_2 = 6$$

Разложим:

$$(x + 1)(x — 6) < 0$$

Шаг 4: Метод интервалов

Точки: $-1$, $6$

Знаки:

• $x < -1$: $(-)(-) = +$
• $-1 < x < 6$: $(+)(-) = —$
• $x > 6$: $(+)(+) = +$

Подходит:

$$-1 < x < 6$$

Ответ:

$$x \in (-1, 6)$$

3) $y = \log_{0.7} \frac{x^2 — 9}{x + 5}$

Шаг 1: Аргумент логарифма положителен:

$$\frac{x^2 — 9}{x + 5} > 0$$

Шаг 2: Разложим числитель:

$$x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)$$

Значит:

$$\frac{(x — 3)(x + 3)}{x + 5} > 0$$

Шаг 3: Метод интервалов

Нули: $x = -5, -3, 3$

Знаки на промежутках:

1. $x < -5$: все скобки отрицательные $(-)(-)/(-) = —$
2. $-5 < x < -3$: $(-)(-)/(+) = +$
3. $-3 < x < 3$: $(-)(+)/(+) = —$
4. $x > 3$: $(+)(+)/+ = +$

Подходит:

$$-5 < x < -3 \quad \text{и} \quad x > 3$$

Исключаем точку разрыва $x = -5$

Ответ:

$$x \in (-5, -3) \cup (3, \infty)$$

4) $y = \log_{\frac{1}{3}} \frac{x — 4}{x^2 + 4}$

Шаг 1: Требуется:

$$\frac{x — 4}{x^2 + 4} > 0$$

Шаг 2: Заметим, что:

$$x^2 + 4 > 0 \quad \text{для всех } x \in \mathbb{R}$$

Значит знак дроби зависит только от $x — 4$

Шаг 3: Решаем:

$$x — 4 > 0 \Rightarrow x > 4$$

Ответ:

$$x \in (4, \infty)$$

5) $y = \log_{\pi}(2^x — 2)$

Шаг 1: Требуется:

$$2^x — 2 > 0$$

Шаг 2: Решим:

$$2^x > 2 \Rightarrow 2^x > 2^1 \Rightarrow x > 1$$

Ответ:

$$x \in (1, \infty)$$

6) $y = \log_3(3^{x-1} — 9)$

Шаг 1: Требуется:

$$3^{x — 1} — 9 > 0$$

Шаг 2: Решаем:

$$3^{x — 1} > 9 \Rightarrow 3^{x — 1} > 3^2 \Rightarrow x — 1 > 2 \Rightarrow x > 3$$

Ответ:

$$x \in (3, \infty)$$