ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 186 Алимов — Подробные Ответы

Найти функцию, обратную к данной, её область определения и множество значений:

1. y=2+ корень (x+2);
2. y=2+ корень (x+4);
3. y=корень (3-x) — 1;
4. y= корень (1-x) +3.

1) $y = 2 + \sqrt{x + 2}$;

Область определения данной функции:

$$x + 2 \geq 0;$$

$$x \geq -2;$$

Множество значений данной функции:

$$\sqrt{x + 2} \geq 0;$$

$$2 + \sqrt{x + 2} \geq 2;$$

$$y \geq 2;$$

Функция, обратная данной:

$$y = 2 + \sqrt{x + 2};$$

$$y — 2 = \sqrt{x + 2};$$

$$(y — 2)^2 = x + 2;$$

$$x = y^2 — 4y + 2;$$

Ответ: $y = x^2 — 4x + 2; \, x \geq 2; \, y \geq -2.$

2) $y = 2 — \sqrt{x + 4}$;

Область определения данной функции:

$$x + 4 \geq 0;$$

$$x \geq -4;$$

Множество значений данной функции:

$$\sqrt{x + 4} \geq 0;$$

$$-\sqrt{x + 4} \leq 0;$$

$$2 — \sqrt{x + 4} \leq 2;$$

$$y \leq 2;$$

Функция, обратная данной:

$$y = 2 — \sqrt{x + 4};$$

$$\sqrt{x + 4} = 2 — y;$$

$$x + 4 = (2 — y)^2;$$

$$x = y^2 — 4y + 4 — 4;$$

$$x = y^2 — 4y;$$

Ответ: $y = x^2 — 4x; \, x \leq 2; \, y \geq -4.$

3) $y = \sqrt{3 — x} — 1$;

Область определения данной функции:

$$3 — x \geq 0;$$

$$x \leq 3;$$

Множество значений данной функции:

$$\sqrt{3 — x} \geq 0;$$

$$\sqrt{3 — x} — 1 \geq -1;$$

$$y \geq -1;$$

Функция, обратная данной:

$$y = \sqrt{3 — x} — 1;$$

$$y + 1 = \sqrt{3 — x};$$

$$(y + 1)^2 = 3 — x;$$

$$x = 3 — (y + 1)^2;$$

$$x = 3 — (y^2 + 2y + 1);$$

$$x = 2 — y^2 — 2y;$$

Ответ: $y = 2 — x^2 — 2x; \, x \geq -1; \, y \leq 3.$

4) $y = \sqrt{1 — x} + 3$;

Область определения данной функции:

$$1 — x \geq 0;$$

$$x \leq 1;$$

Множество значений данной функции:

$$\sqrt{1 — x} \geq 0;$$

$$\sqrt{1 — x} + 3 \geq 3;$$

$$y \geq 3;$$

Функция, обратная данной:

$$y = \sqrt{1 — x} + 3;$$

$$y — 3 = \sqrt{1 — x};$$

$$(y — 3)^2 = 1 — x;$$

$$x = 1 — (y — 3)^2;$$

$$x = 1 — (y^2 — 6y + 9);$$

$$x = 6y — y^2 — 8;$$

Ответ: $y = 6x — x^2 — 8; \, x \geq 3; \, y \leq 1.$

1) Функция $y = 2 + \sqrt{x + 2}$

1.1 Область определения

Функция содержит корень квадратный, поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$$x + 2 \geq 0$$

Решаем неравенство:

$$x \geq -2$$

Ответ: область определения функции — $x \in [-2; +\infty)$.

1.2 Множество значений

Функция представлена в виде:

$$y = 2 + \sqrt{x + 2}$$

Так как корень квадратный принимает только неотрицательные значения ($\sqrt{x + 2} \geq 0$), прибавляя 2, получаем:

$$y \geq 2$$

Ответ: множество значений $y \in [2; +\infty)$.

1.3 Обратная функция

Пусть:

$$y = 2 + \sqrt{x + 2}$$

Выразим $x$ через $y$.

Вычитаем 2 из обеих частей:

$$y — 2 = \sqrt{x + 2}$$

Возводим обе части в квадрат (так как квадрат и корень — обратные операции):

$$(y — 2)^2 = x + 2$$

Выражаем $x$:

$$x = (y — 2)^2 — 2$$

Учитываем область определения:
Так как исходная функция была определена при $x \geq -2$, то обратная должна быть определена при $y \geq 2$.

Ответ: Обратная функция:$$y = x^2 — 4x + 2, \quad x \geq 2, \quad y \geq -2.$$

2) Функция $y = 2 — \sqrt{x + 4}$

2.1 Область определения

Так как подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x + 4 \geq 0$$

Решаем:

$$x \geq -4$$

Ответ: область определения $x \in [-4; +\infty)$.

2.2 Множество значений

Функция:

$$y = 2 — \sqrt{x + 4}$$

Так как $\sqrt{x+4} \geq 0$, выражение $-\sqrt{x+4}$неположительно, значит:

$$2 — \sqrt{x + 4} \leq 2$$

Ответ: множество значений $y \in (-\infty; 2]$.

2.3 Обратная функция

Пусть:

$$y = 2 — \sqrt{x + 4}$$

Выразим корень:

$$\sqrt{x + 4} = 2 — y$$

Возведем обе части в квадрат:

$$x + 4 = (2 — y)^2$$

Раскроем скобки:

$$x + 4 = 4 — 4y + y^2$$

Выражаем $x$:

$$x = y^2 — 4y + 4 — 4$$

$$x = y^2 — 4y$$

Ответ: Обратная функция:$$y = x^2 — 4x, \quad x \leq 2, \quad y \geq -4.$$

3) Функция $y = \sqrt{3 — x} — 1$

3.1 Область определения

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$3 — x \geq 0$$

Решаем:

$$x \leq 3$$

Ответ: область определения $x \in (-\infty; 3]$.

3.2 Множество значений

Функция:

$$y = \sqrt{3 — x} — 1$$

Так как $\sqrt{3-x} \geq 0$, то:

$$\sqrt{3 — x} — 1 \geq -1$$

Ответ: множество значений $y \in [-1; +\infty)$.

3.3 Обратная функция

Пусть:

$$y = \sqrt{3 — x} — 1$$

Выразим корень:

$$y + 1 = \sqrt{3 — x}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$(y + 1)^2 = 3 — x$$

Выражаем $x$:

$$x = 3 — (y + 1)^2$$

$$x = 3 — (y^2 + 2y + 1)$$

$$x = 2 — y^2 — 2y$$

Ответ: Обратная функция:$$y = 2 — x^2 — 2x, \quad x \geq -1, \quad y \leq 3.$$

4) Функция $y = \sqrt{1 — x} + 3$

4.1 Область определения

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$1 — x \geq 0$$

Решаем:

$$x \leq 1$$

Ответ: область определения $x \in (-\infty; 1]$.

4.2 Множество значений

Функция:

$$y = \sqrt{1 — x} + 3$$

Так как $\sqrt{1-x} \geq 0$, прибавляя 3, получаем:

$$y \geq 3$$

Ответ: множество значений $y \in [3; +\infty)$.

4.3 Обратная функция

Пусть:

$$y = \sqrt{1 — x} + 3$$

Выразим корень:

$$y — 3 = \sqrt{1 — x}$$

Возведем обе части в квадрат:

$$(y — 3)^2 = 1 — x$$

Выражаем $x$:

$$x = 1 — (y — 3)^2$$

$$x = 1 — (y^2 — 6y + 9)$$

$$x = 6y — y^2 — 8$$

Ответ: Обратная функция:$$y = 6x — x^2 — 8, \quad x \geq 3, \quad y \leq 1.$$

Окончательный ответ:

1) $y = x^2 — 4x + 2, \quad x \geq 2, \quad y \geq -2.$

2) $y = x^2 — 4x, \quad x \leq 2, \quad y \geq -4.$

3) $y = 2 — x^2 — 2x, \quad x \geq -1, \quad y \leq 3.$

4) $y = 6x — x^2 — 8, \quad x \geq 3, \quad y \leq 1.$