ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1475 Алимов — Подробные Ответы

Исследовать функцию на чётность и нечётность и построить её график:

1. у = -х4 + 4х2 — 5;
2. у = х3 — 4х.

$y = -x^4 + 4x^2 — 5$;

Исследуем функцию на четность:

$$y(-x) = -(-x)^4 + 4(-x)^2 — 5 = -x^4 + 4x^2 — 5 = y(x) \quad \text{— четная};$$

Производная функции:

$$y'(x) = -(x^4)’ + 4(x^2)’ — (5)’;$$ $$y'(x) = -4x^3 + 4 \cdot 2x — 0 = 4(2x — x^3);$$

Точки экстремума:

$$2x — x^3 = 0;$$ $$x(2 — x^2) = 0;$$ $$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = \sqrt{2};$$ $$y_1 = -0^4 + 4 \cdot 0^2 — 5 = -5;$$ $$y_2 = -(\sqrt{2})^4 + 4 \cdot (\sqrt{2})^2 — 5 = -4 + 8 — 5 = -1;$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & -2 & -5 & -50 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

$y = x^3 — 4x$;

Исследуем функцию на четность:

$$y(-x) = (-x)^3 — 4 \cdot (-x) = -x^3 + 4x = -y(x) \quad \text{— нечетная};$$

Производная функции:

$$y'(x) = (x^3)’ — (4x)’ = 3x^2 — 4;$$

Точки экстремума:

$$3x^2 — 4 = 0;$$ $$3x^2 = 4;$$ $$x^2 = \frac{4}{3}, \quad \text{отсюда } x = \frac{2}{\sqrt{3}};$$ $$y = \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^3 — 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{3\sqrt{3}} — \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8 — 24}{3\sqrt{3}} = -\frac{16}{3\sqrt{3}};$$

Координаты некоторых точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & -3 & 0 & 15 \\ \hline \end{array}$$

График функции:

1) $y = -x^4 + 4x^2 — 5$

Нам нужно исследовать функцию $y = -x^4 + 4x^2 — 5$.

Шаг 1: Исследование на четность

Чтобы определить, является ли функция четной, нужно проверить, выполняется ли $y(-x) = y(x)$.

Подставляем $-x$ вместо $x$ в выражение для функции:

$$y(-x) = -(-x)^4 + 4(-x)^2 — 5$$

Применяем свойства степеней:

$$(-x)^4 = x^4 \quad \text{и} \quad (-x)^2 = x^2$$

Получаем:

$$y(-x) = -x^4 + 4x^2 — 5$$

Видим, что:

$$y(-x) = y(x)$$

Следовательно, функция $y = -x^4 + 4x^2 — 5$ является четной.

Шаг 2: Нахождение производной

Для нахождения экстремумов функции вычислим её производную $y'(x)$.

1. Производная от $-x^4$ равна $-4x^3$.
2. Производная от $4x^2$ равна $8x$.
3. Производная от константы $-5$ равна 0.

Таким образом, производная функции будет:

$$y'(x) = -4x^3 + 8x$$

Теперь можно вынести общий множитель:

$$y'(x) = 4x(2 — x^2)$$

Шаг 3: Нахождение точек экстремума

Чтобы найти точки экстремума, приравняем производную к нулю:

$$4x(2 — x^2) = 0$$

Это уравнение будет равно нулю при $x = 0$ или $2 — x^2 = 0$.

Решаем $2 — x^2 = 0$:

$$x^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad x = \pm \sqrt{2}$$

Таким образом, точки экстремума: $x_1 = 0$, $x_2 = \sqrt{2}$, и $x_3 = -\sqrt{2}$.

Шаг 4: Нахождение значений функции в точках экстремума

Для $x_1 = 0$:

$$y_1 = -0^4 + 4 \cdot 0^2 — 5 = -5$$

Для $x_2 = \sqrt{2}$:

$$y_2 = -(\sqrt{2})^4 + 4 \cdot (\sqrt{2})^2 — 5 = -4 + 8 — 5 = -1$$

Шаг 5: Координаты некоторых точек

Мы уже нашли координаты точек экстремума, а также вычислим значения функции в нескольких точках:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 2 & 3 \\ \hline y & -5 & -5 & -50 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 6: График функции

График функции будет четной (так как $y(-x) = y(x)$) и будет симметричен относительно оси $y$. График будет иметь экстремумы в точках $x = 0$ и $x = \pm \sqrt{2}$.

2) $y = x^3 — 4x$

Теперь рассмотрим функцию $y = x^3 — 4x$.

Шаг 1: Исследование на четность

Для того чтобы проверить, является ли функция нечетной, нужно проверить, выполняется ли $y(-x) = -y(x)$.

Подставляем $-x$ вместо $x$:

$$y(-x) = (-x)^3 — 4 \cdot (-x) = -x^3 + 4x$$

Видим, что:

$$y(-x) = -x^3 + 4x = — (x^3 — 4x) = -y(x)$$

Следовательно, функция $y = x^3 — 4x$ является нечетной.

Шаг 2: Нахождение производной

Теперь вычислим производную функции $y = x^3 — 4x$:

$$y'(x) = (x^3)’ — (4x)’ = 3x^2 — 4$$

Шаг 3: Нахождение точек экстремума

Для нахождения точек экстремума приравняем производную к нулю:

$$3x^2 — 4 = 0$$

Решаем:

$$3x^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad x^2 = \frac{4}{3} \quad \Rightarrow \quad x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$$

Теперь вычислим значения функции в этих точках:

Для $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$:

$$y = \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right)^3 — 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{3\sqrt{3}} — \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8 — 24}{3\sqrt{3}} = -\frac{16}{3\sqrt{3}}$$

Шаг 4: Координаты некоторых точек

Теперь найдем значения функции для нескольких точек:

$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 \\ \hline y & 0 & -3 & 0 & 15 \\ \hline \end{array}$$

Шаг 5: График функции

График функции будет нечетным (так как $y(-x) = -y(x)$) и симметричен относительно начала координат. Функция имеет экстремумы в точке $x = \pm \frac{2}{\sqrt{3}}$, и значения функции будут положительными для $x > \frac{2}{\sqrt{3}}$ и отрицательными для $x < \frac{2}{\sqrt{3}}$.