ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 279 Алимов — Подробные Ответы

1. log2(корень 4 степени 2);
2. log3(1/3 корень 3);
3. log0,5(1/корень 32);
4. log7(корень 3 степени 7/49).

1. $\log_{2} \sqrt[4]{2} = \log_{2} 2^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4} = 0,25$;
2. $\log_{3} \frac{1}{3 \sqrt{3}} = \log_{3} \frac{1}{3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}}} = \log_{3} \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} = \log_{3} 3^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2} = -1,5$;
3. $\log_{0.5} \frac{1}{\sqrt[5]{32}} = \log_{0.5} \left( \frac{1}{32} \right)^{\frac{1}{5}} = \log_{0.5} \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{5}{2}} = \frac{5}{2} = 2,5$;
4. $\log_{7} \frac{\sqrt[3]{7}}{49} = \log_{7} \frac{7^{\frac{1}{3}}}{7^{2}} = \log_{7} 7^{\frac{1}{3} — 2} = \frac{1}{3} — 2 = \frac{1}{3} — \frac{6}{3} = -\frac{5}{3} = -1 \frac{2}{3}$;

1) $\log_{2} \sqrt[4]{2}$

Мы начинаем с выражения:

$$\log_{2} \sqrt[4]{2}$$

Распишем корень как степень:

$$\sqrt[4]{2} = 2^{\frac{1}{4}}$$

Теперь логарифмируем это выражение:

$$\log_{2} 2^{\frac{1}{4}}$$

Используем свойство логарифма, что $\log_{a} a^{b} = b$, где $a > 0$ и $a \neq 1$. В нашем случае, основание логарифма — это 2, и основание степени также 2, так что:

$$\log_{2} 2^{\frac{1}{4}} = \frac{1}{4}$$

Ответ: $\frac{1}{4} = 0,25$.

2) $\log_{3} \frac{1}{3 \sqrt{3}}$

Начнем с выражения:

$$\log_{3} \frac{1}{3 \sqrt{3}}$$

Запишем знаменатель как степень числа 3:

$$3 \sqrt{3} = 3^{1} \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 3^{1 + \frac{1}{2}} = 3^{\frac{3}{2}}$$

Теперь подставляем это в выражение:

$$\log_{3} \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}}$$

Используем свойство логарифма $\log_{a} \frac{1}{b} = -\log_{a} b$:

$$\log_{3} \frac{1}{3^{\frac{3}{2}}} = -\log_{3} 3^{\frac{3}{2}}$$

Теперь, используя свойство логарифма $\log_{a} a^{b} = b$:

$$-\log_{3} 3^{\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2}$$

Ответ: $-\frac{3}{2} = -1,5$.

3) $\log_{0.5} \frac{1}{\sqrt[5]{32}}$

Начнем с выражения:

$$\log_{0.5} \frac{1}{\sqrt[5]{32}}$$

Запишем корень как степень:

$$\sqrt[5]{32} = 32^{\frac{1}{5}} = (2^5)^{\frac{1}{5}} = 2^{1}$$

Теперь подставляем это в выражение:

$$\log_{0.5} \frac{1}{2}$$

Перепишем дробь как степень:

$$\frac{1}{2} = 2^{-1}$$

Тогда выражение становится:

$$\log_{0.5} 2^{-1}$$

Используем свойство логарифма $\log_{a} b^{c} = c \cdot \log_{a} b$:

$$\log_{0.5} 2^{-1} = -1 \cdot \log_{0.5} 2$$

Теперь вычислим $\log_{0.5} 2$. Поскольку $0.5 = 2^{-1}$, то:

$$\log_{0.5} 2 = -1$$

Таким образом:

$$-1 \cdot (-1) = 1$$

Ответ: $1 = 1$.

4) $\log_{7} \frac{\sqrt[3]{7}}{49}$

Начнем с выражения:

$$\log_{7} \frac{\sqrt[3]{7}}{49}$$

Запишем числитель и знаменатель как степени числа 7:

$$\sqrt[3]{7} = 7^{\frac{1}{3}}, \quad 49 = 7^2$$

Теперь подставляем эти выражения:

$$\log_{7} \frac{7^{\frac{1}{3}}}{7^2}$$

Используем свойство логарифма $\log_{a} \frac{b}{c} = \log_{a} b — \log_{a} c$:

$$\log_{7} 7^{\frac{1}{3}} — \log_{7} 7^2$$

Теперь используем свойство $\log_{a} a^b = b$:

$$\log_{7} 7^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{3}, \quad \log_{7} 7^2 = 2$$

Таким образом:

$$\frac{1}{3} — 2 = \frac{1}{3} — \frac{6}{3} = -\frac{5}{3}$$

Ответ: $-\frac{5}{3} = -1 \frac{2}{3}$.

Итоги:

1. $0,25$
2. $-1,5$
3. $1$
4. $-1 \frac{2}{3}$