ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 962 Алимов — Подробные Ответы

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1. f (х) = х3 — 6х2 + 9 на отрезке [-2; 2];
2. f (x) = х3 + 6х2 + 9х на отрезке [-4; 0];
3. f (x) = х4 — 2х2 — 3 на отрезке [-4;3];
4. f (х) = х4 — 8х2 + 5 на отрезке [-3; 2].

1) $f(x) = x^3 — 6x^2 + 9$ на отрезке $[-2; 2]$;

$f'(x) = (x^3)’ — 6 \cdot (x^2)’ + (9)’$;
$f'(x) = 3x^2 — 6 \cdot 2x + 0$;
$f'(x) = 3x^2 — 12x$;

Точки экстремума:
$3x^2 — 12x = 0$;
$3x \cdot (x — 4) = 0$;
$x_1 = 0$ и $x_2 = 4$;

Значения функции:
$f(-2) = (-2)^3 — 6 \cdot (-2)^2 + 9 = -8 — 24 + 9 = -23$;
$f(0) = 0^3 — 6 \cdot 0^2 + 9 = 9$;
$f(2) = 2^3 — 6 \cdot 2^2 + 9 = 8 — 24 + 9 = -7$;

Ответ: $y_{\text{min}} = -23$; $y_{\text{max}} = 9$.

2) $f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x$ на отрезке $[-4; 0]$;

$f'(x) = (x^3)’ + 6 \cdot (x^2)’ + (9x)’$;
$f'(x) = 3x^2 + 6 \cdot 2x + 9$;
$f'(x) = 3x^2 + 12x + 9$;

Точки экстремума:
$3x^2 + 12x + 9 = 0$;
$x^2 + 4x + 3 = 0$;
$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:
$x_1 = \frac{-4 — 2}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-4 + 2}{2} = -1$;

Значения функции:
$f(-4) = (-4)^3 + 6 \cdot (-4)^2 + 9 \cdot (-4) = -64 + 96 — 36 = -4$;
$f(-3) = (-3)^3 + 6 \cdot (-3)^2 + 9 \cdot (-3) = -27 + 54 — 27 = 0$;
$f(-1) = (-1)^3 + 6 \cdot (-1)^2 + 9 \cdot (-1) = -1 + 6 — 9 = -4$;
$f(0) = 0^3 + 6 \cdot 0^2 + 9 \cdot 0 = 0$;

Ответ: $y_{\text{min}} = -4$; $y_{\text{max}} = 0$.

3) $f(x) = x^4 — 2x^2 + 3$ на отрезке $[-4; 3]$;

$f'(x) = (x^4)’ — 2 \cdot (x^2)’ + (3)’$;
$f'(x) = 4x^3 — 2 \cdot 2x + 0$;
$f'(x) = 4x^3 — 4x$;

Точки экстремума:
$4x^3 — 4x = 0$;
$4x \cdot (x^2 — 1) = 0$;
$x_1 = 0$ и $x_2 = 1$;

Значения функции:
$f(-4) = (-4)^4 — 2 \cdot (-4)^2 + 3 = 256 — 32 + 3 = 227$;
$f(0) = 0^4 — 2 \cdot 0^2 + 3 = 3$;
$f(1) = 1^4 — 2 \cdot 1^2 + 3 = 1 — 2 + 3 = 2$;
$f(3) = 3^4 — 2 \cdot 3^2 + 3 = 81 — 18 + 3 = 66$;

Ответ: $y_{\text{min}} = 2$; $y_{\text{max}} = 227$.

4) $f(x) = x^4 — 8x^2 + 5$ на отрезке $[-3; 2]$;

$f'(x) = (x^4)’ — 8 \cdot (x^2)’ + (5)’$;
$f'(x) = 4x^3 — 8 \cdot 2x + 0$;
$f'(x) = 4x^3 — 16x$;

Точки экстремума:
$4x^3 — 16x = 0$;
$4x \cdot (x^2 — 4) = 0$;
$x_1 = \pm 2$ и $x_2 = 0$;

Значения функции:
$f(-3) = (-3)^4 — 8 \cdot (-3)^2 + 5 = 81 — 72 + 5 = 14$;
$f(2) = (\pm 2)^4 — 8 \cdot (\pm 2)^2 + 5 = 16 — 32 + 5 = -11$;
$f(0) = 0^4 — 8 \cdot 0^2 + 5 = 5$;

Ответ: $y_{\text{min}} = -11$; $y_{\text{max}} = 14$.

1) $f(x) = x^3 — 6x^2 + 9$, на отрезке $[-2;\ 2]$

Шаг 1: Найдём производную

Для исследования функции на экстремумы найдём первую производную:

$$f(x) = x^3 — 6x^2 + 9 \Rightarrow f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) — 6 \cdot \frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(9) = 3x^2 — 12x$$

Шаг 2: Найдём критические (стационарные) точки

$$f'(x) = 3x^2 — 12x = 0 \Rightarrow 3x(x — 4) = 0 \Rightarrow x = 0 \quad \text{и} \quad x = 4$$

Из них только $x = 0$ принадлежит отрезку $[-2; 2]$, $x = 4 \notin [-2; 2]$ — не учитывается.

Шаг 3: Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке

$$f(-2) = (-2)^3 — 6(-2)^2 + 9 = -8 — 24 + 9 = -23$$ $$f(0) = 0 — 0 + 9 = 9$$ $$f(2) = 8 — 24 + 9 = -7$$

Шаг 4: Сравним значения и сделаем вывод

• Минимальное значение: $f(-2) = -23$
• Максимальное значение: $f(0) = 9$

Ответ:

$$\boxed{y_{\text{min}} = -23,\quad y_{\text{max}} = 9}$$

2) $f(x) = x^3 + 6x^2 + 9x$, на отрезке $[-4;\ 0]$

Шаг 1: Производная

$$f'(x) = 3x^2 + 12x + 9$$

Шаг 2: Найдём критические точки

Решим уравнение:

$$3x^2 + 12x + 9 = 0 \Rightarrow x^2 + 4x + 3 = 0 \Rightarrow D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$$ $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{-4 \pm 2}{2} \Rightarrow x_1 = -3,\ x_2 = -1$$

Обе точки входят в отрезок $[-4; 0]$

Шаг 3: Значения функции в концах и стационарных точках

$$f(-4) = -64 + 96 — 36 = -4$$ $$f(-3) = -27 + 54 — 27 = 0$$ $$f(-1) = -1 + 6 — 9 = -4$$ $$f(0) = 0 + 0 + 0 = 0$$

Шаг 4: Вывод

• Минимум: $y = -4$, достигается в двух точках: $x = -4$ и $x = -1$
• Максимум: $y = 0$, достигается при $x = -3$ и $x = 0$

Ответ:

$$\boxed{y_{\text{min}} = -4,\quad y_{\text{max}} = 0}$$

3) $f(x) = x^4 — 2x^2 + 3$, на отрезке $[-4;\ 3]$

Шаг 1: Производная

$$f'(x) = 4x^3 — 4x = 4x(x^2 — 1) = 4x(x — 1)(x + 1)$$

Шаг 2: Значения функции

$$f(-4) = 256 — 32 + 3 = 227$$ $$f(-1) = 1 — 2 + 3 = 2$$ $$f(0) = 0 — 0 + 3 = 3$$ $$f(1) = 1 — 2 + 3 = 2$$ $$f(3) = 81 — 18 + 3 = 66$$

Шаг 3: Вывод

• Минимум: $y = 2$, при $x = -1$ и $x = 1$
• Максимум: $y = 227$, при $x = -4$

Ответ:

$$\boxed{y_{\text{min}} = 2,\quad y_{\text{max}} = 227}$$

4) $f(x) = x^4 — 8x^2 + 5$, на отрезке $[-3;\ 2]$

Шаг 1: Производная

$$f'(x) = 4x^3 — 16x = 4x(x^2 — 4) = 4x(x — 2)(x + 2)$$

Шаг 2: Критические точки

$$x = -2,\ x = 0,\ x = 2 \Rightarrow все входят в отрезок$$

Шаг 3: Значения функции

$$f(-3) = 81 — 72 + 5 = 14$$ $$f(-2) = 16 — 32 + 5 = -11$$ $$f(0) = 0 — 0 + 5 = 5$$ $$f(2) = 16 — 32 + 5 = -11$$

Шаг 4: Вывод

• Минимум: $y = -11$ при $x = -2$ и $x = 2$
• Максимум: $y = 14$ при $x = -3$

Ответ:

$$\boxed{y_{\text{min}} = -11,\quad y_{\text{max}} = 14}$$