ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 360 Алимов — Подробные Ответы

1. log8 (x2 — 4x + 3) < 1;
2. log6 (x2 — 3x + 2) > 1;
3. log3 (x2 + 2x) > 1;
4. log2/3(x2-2,5x) < -1.

${\mathrm{1.\; log}}_8(x^2-4x+3)<1$;
${\log }_8(x^2-4x+3)<{\log }_{8}8$;
$x^2-4x+3<8$;
$x^2-4x-5<0$;
$D=4^2+4\cdot 5=16+20=36$, тогда:
$x_1=\frac{4-6}{2}=-1$ и $x_2=\frac{4+6}{2}=5$;
$(x+1)(x-5)<0$;
$-1<x<5$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2-4x+3>0$;
$D=4^2-4\cdot 3=16-12=4$, тогда:
$x_1=\frac{4-2}{2}=1$ и $x_2=\frac{4+2}{2}=3$;
$(x-1)(x-3)>0$;
$x<1$ и $x>3$;

Ответ: $-1<x<1$; $3<x<5$.

${\mathrm{2.\; log}}_6(x^2-3x+2)\ge 1$;
${\log }_6(x^2-3x+2)\ge {\log }_{6}6$;
$x^2-3x+2\ge 6$;
$x^2-3x-4\ge 0$;
$D=3^2-4\cdot 2=9-8=1$, тогда:
$x_1=\frac{3-1}{2}=1$ и $x_2=\frac{3+1}{2}=2$;
$(x-1)(x-2)>0$;
$x<1$ и $x>2$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2-3x+2>0$;
$D=3^2-4\cdot 2=9-8=1$, тогда:
$x_1=\frac{3-1}{2}=1$ и $x_2=\frac{3+1}{2}=2$;
$(x-1)(x-2)>0$;
$x<1$ и $x>2$;

Ответ: $x\le -1$; $x\ge 4$.

${\mathrm{3.\; log}}_3(x^2+2x)>1$;
${\log }_3(x^2+2x)>{\log }_{3}3$;
$x^2+2x>3$;
$x^2+2x-3>0$;
$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16$, тогда:
$x_1=\frac{-2-4}{2}=-3$ и $x_2=\frac{-2+4}{2}=1$;
$(x+3)(x-1)>0$;
$x<-3$ и $x>1$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2+2x>0$;
$(x+2)x>0$;
$x<-2$ и $x>0$;

Ответ: $x<-3$; $x>1$.

${\mathrm{4.\; log}}_{\frac{2}{3}}(x^2-2,5x)<-1$;
${\log }_{\frac{2}{3}}(x^2-2,5x)<{\log }_{\frac{2}{3}}{\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}$;
$x^2-2,5x>{\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}$;
$x^2-2,5x>\frac{3}{2}$;
$2x^2-5x>3$;
$2x^2-5x-3>0$;
$D=5^2+4\cdot 2\cdot 3=25+24=49$, тогда:
$x_1=\frac{5-7}{2\cdot 2}=\frac{-2}{4}=-0,5$;
$x_2=\frac{5+7}{2\cdot 2}=\frac{12}{4}=3$;
$(x+0,5)(x-3)>0$;
$x<-0,5$ и $x>3$;

Выражение имеет смысл при:
$x^2-2,5x>0$;
$x(x-2,5)>0$;
$x<0$ и $x>2,5$;

Ответ: $x<-0,5$; $x>3$.

1) ${\log }_8(x^2-4x+3)<1$

Шаг 1: Область определения логарифма

Логарифм определён, если его аргумент положителен:

$$x^2-4x+3>0$$

Решим это квадратное неравенство:

Находим дискриминант:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot 3=16-12=4$$

Корни:

$$x_1=\frac{4-2}{2}=1,x_2=\frac{4+2}{2}=3$$

Разложим на множители:

$$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$$

Решаем неравенство:

$$(x-1)(x-3)>0\Rightarrow x<1\text{или}x>3$$

Шаг 2: Работа с логарифмом

Исходное неравенство:

$${\log }_8(x^2-4x+3)<1$$

Запишем 1 как логарифм по основанию 8:

$${\log }_8(x^2-4x+3)<{\log }_{8}8$$

Так как основание логарифма $8>1$, знак сохраняется:

$$x^2-4x+3<8\Rightarrow x^2-4x-5<0$$

Решим:

Дискриминант:

$$D=(-4{)}^2-4\cdot 1\cdot (-5)=16+20=36$$

Корни:

$$x_1=\frac{4-6}{2}=-1,x_2=\frac{4+6}{2}=5$$

Разложим:

$$(x+1)(x-5)<0\Rightarrow -1<x<5$$

Шаг 3: Пересечение с областью определения

Из ODЗ: $x<1$ или $x>3$
Из логарифмического неравенства: $-1<x<5$

Пересекаем:

• $x<1$ и $-1<x<5$ ⟹ $-1<x<1$
• $x>3$ и $-1<x<5$ ⟹ $3<x<5$

Ответ 1: $\boxed{{\displaystyle -1<x<1;3<x<5}}$

2) ${\log }_6(x^2-3x+2)\ge 1$

Шаг 1: Область определения

Аргумент логарифма должен быть положительным:

$$x^2-3x+2>0$$

Дискриминант:

$$D=9-8=1$$

Корни:

$$x_1=\frac{3-1}{2}=1,x_2=\frac{3+1}{2}=2$$

Разложение:

$$(x-1)(x-2)>0\Rightarrow x<1\text{или}x>2$$

Шаг 2: Преобразование логарифмического неравенства

Запишем:

$${\log }_6(x^2-3x+2)\ge {\log }_{6}6\Rightarrow x^2-3x+2\ge 6\Rightarrow x^2-3x-4\ge 0$$

Решаем:

$D=9+16=25$

Корни:

$$x=\frac{3\pm 5}{2}\Rightarrow x=-1,x=4$$

Знаки:

$$(x+1)(x-4)\ge 0\Rightarrow x\le -1\text{или}x\ge 4$$

Шаг 3: Пересечение с ODЗ

Из ODЗ: $x<1$ или $x>2$
Из неравенства: $x\le -1$ или $x\ge 4$

Пересекаем:

• $x<1$ и $x\le -1$ ⟹ $x\le -1$
• $x>2$ и $x\ge 4$ ⟹ $x\ge 4$

Ответ 2: $\boxed{{\displaystyle x\le -1;x\ge 4}}$

3) ${\log }_3(x^2+2x)>1$

Шаг 1: Область определения

$$x^2+2x>0\Rightarrow x(x+2)>0\Rightarrow x<-2\text{или}x>0$$

Шаг 2: Преобразуем логарифм

$${\log }_3(x^2+2x)>{\log }_{3}3\Rightarrow x^2+2x>3\Rightarrow x^2+2x-3>0$$

Дискриминант:

$$D=4+12=16$$

Корни:

$$x=\frac{-2\pm 4}{2}\Rightarrow x=-3,x=1$$

Разложение:

$$(x+3)(x-1)>0\Rightarrow x<-3\text{или}x>1$$

Шаг 3: Пересечение с ODЗ

ODЗ: $x<-2$ или $x>0$
Решение: $x<-3$ или $x>1$

Пересекаем:

• $x<-3$ и $x<-2$ ⟹ $x<-3$
• $x>1$ и $x>0$ ⟹ $x>1$

Ответ 3: $\boxed{{\displaystyle x<-3;x>1}}$

4) ${\log }_{\frac{2}{3}}(x^2-\mathrm{2,5}x)<-1$

Шаг 1: Область определения

$$x^2-\mathrm{2,5}x>0\Rightarrow x(x-\mathrm{2,5})>0\Rightarrow x<0\text{или}x>\mathrm{2,5}$$

Шаг 2: Работа с логарифмом

Основание $\frac{2}{3}<1$, знак меняется:

$${\log }_{\frac{2}{3}}(x^2-\mathrm{2,5}x)<-1={\log }_{\frac{2}{3}}\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^{-1}\right)\Rightarrow x^2-\mathrm{2,5}x>\frac{3}{2}$$

Умножим обе части на 2:

$$2x^2-5x>3\Rightarrow 2x^2-5x-3>0$$

$D=25+24=49$

Корни:

$$x=\frac{5\pm 7}{2\cdot 2}\Rightarrow x=-\mathrm{0,5},x=3$$

Знаки:

$$(x+\mathrm{0,5})(x-3)>0\Rightarrow x<-\mathrm{0,5}\text{или}x>3$$

Шаг 3: Пересечение с ODЗ

ODЗ: $x<0$ или $x>\mathrm{2,5}$
Решение: $x<-\mathrm{0,5}$ или $x>3$

Пересекаем:

• $x<-\mathrm{0,5}$ и $x<0$ ⟹ $x<-\mathrm{0,5}$
• $x>3$ и $x>\mathrm{2,5}$ ⟹ $x>3$

Ответ 4: $\boxed{{\displaystyle x<-\mathrm{0,5};x>3}}$

Итоговые ответы:

1. $-1<x<1;3<x<5$
2. $x\le -1;x\ge 4$
3. $x<-3;x>1$
4. $x<-\mathrm{0,5};x>3$