ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 462 Алимов — Подробные Ответы

Пусть а — один из углов прямоугольного треугольника.Наити cos а и tg а, если sin а= 2 корень 10/11.

Найти $\cos a$ и $\operatorname{tg} a$, если $\sin a = \frac{2\sqrt{10}}{11}$ и $a$ — угол прямоугольного треугольника;

Так как $a$ — угол в прямоугольном треугольнике, то $0 < a < \frac{\pi}{2}$, то есть точка, полученная вращением, принадлежит первой четверти: $\cos a > 0$ и $\operatorname{tg} a > 0$;

Косинус искомого угла:

$$\cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a};$$ $$\cos a = \sqrt{1 — \left( \frac{2\sqrt{10}}{11} \right)^2} = \sqrt{\frac{121}{121} — \frac{40}{121}} = \sqrt{\frac{81}{121}} = \frac{9}{11};$$

Тангенс искомого угла:

$$\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a};$$ $$\operatorname{tg} a = \frac{\frac{2\sqrt{10}}{11}}{\frac{9}{11}} = \frac{2\sqrt{10}}{11} \cdot \frac{11}{9} = \frac{2\sqrt{10}}{9};$$

Ответ: $\cos a = \frac{9}{11}$; $\operatorname{tg} a = \frac{2\sqrt{10}}{9}$.

Дано:

$$\sin a = \frac{2\sqrt{10}}{11}, \quad a \text{ — угол прямоугольного треугольника}.$$

Найти:

• $\cos a$
• $\operatorname{tg} a$

Шаг 1: Понимание условий

Поскольку $a$ — угол прямоугольного треугольника, это значит:

$$0 < a < \frac{\pi}{2},$$

то есть угол острый. Следовательно:

• $\sin a > 0$
• $\cos a > 0$
• $\operatorname{tg} a > 0$

Всё это означает, что результаты всех вычислений должны быть положительными.

Шаг 2: Найдём $\cos a$ по формуле

Основное тригонометрическое тождество:

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Отсюда выразим:

$$\cos^2 a = 1 — \sin^2 a \quad \Rightarrow \quad \cos a = \sqrt{1 — \sin^2 a}$$

Подставим данное значение:

$$\cos a = \sqrt{1 — \left( \frac{2\sqrt{10}}{11} \right)^2}$$

Шаг 3: Возведём в квадрат $\sin a$

$$\left( \frac{2\sqrt{10}}{11} \right)^2 = \frac{(2)^2 \cdot (\sqrt{10})^2}{11^2} = \frac{4 \cdot 10}{121} = \frac{40}{121}$$

Шаг 4: Вычтем подкоренное выражение

$$1 — \frac{40}{121} = \frac{121}{121} — \frac{40}{121} = \frac{81}{121}$$

Шаг 5: Извлекаем корень

$$\cos a = \sqrt{\frac{81}{121}} = \frac{\sqrt{81}}{\sqrt{121}} = \frac{9}{11}$$

Так как угол $a$ острый (первая четверть), берём положительное значение корня.

Ответ:

$$\cos a = \frac{9}{11}$$

Шаг 6: Найдём $\operatorname{tg} a$

Определение тангенса:

$$\operatorname{tg} a = \frac{\sin a}{\cos a}$$

Подставим найденные значения:

$$\operatorname{tg} a = \frac{\frac{2\sqrt{10}}{11}}{\frac{9}{11}}$$

Шаг 7: Деление дробей

Чтобы разделить две дроби с одинаковыми знаменателями, достаточно поделить числители:

$$\operatorname{tg} a = \frac{2\sqrt{10}}{11} \cdot \frac{11}{9} = \frac{2\sqrt{10} \cdot 11}{11 \cdot 9} = \frac{2\sqrt{10}}{9}$$

(сокращаем 11 в числителе и знаменателе)

Ответ:

$$\operatorname{tg} a = \frac{2\sqrt{10}}{9}$$

Итоговый ответ:

$$\boxed{ \cos a = \frac{9}{11}; \quad \operatorname{tg} a = \frac{2\sqrt{10}}{9} }$$