ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 684 Алимов — Подробные Ответы

|cos x| — cos3x = sin2x.

$$|\cos x| — \cos 3x = \sin 2x;$$

1) Если $\cos x < 0$:

$$-\cos x — \cos 3x — \sin 2x = 0;$$ $$-(\cos x + \cos 3x) — \sin 2x = 0;$$ $$-2 \cdot \cos \frac{x + 3x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2} — \sin 2x = 0;$$ $$-2 \cdot \cos 2x \cdot \cos x — 2 \sin x \cdot \cos x = 0;$$ $$-2 \cos x \cdot (\cos 2x + \sin x) = 0;$$ $$-2 \cos x \cdot (\sin x + 1 — 2 \sin^2 x) = 0;$$ $$\sin x + 1 — 2 \sin^2 x = 0;$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$y + 1 — 2 y^2 = 0;$$ $$2 y^2 — y — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \quad \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}, \quad y_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = 1;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x = -\frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Третье уравнение:

$$\sin x = 1;$$ $$x = \arcsin 1 + 2 \pi n = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n;$$

2) Если $\cos x > 0$:

$$\cos x — \cos 3x — \sin 2x = 0;$$ $$-2 \cdot \sin \frac{x + 3x}{2} \cdot \sin \frac{x — 3x}{2} — \sin 2x = 0;$$ $$2 \cdot \sin 2x \cdot \sin x — \sin 2x = 0;$$ $$\sin 2x \cdot (2 \sin x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Так как $\left(-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n\right)$, то

$$x = 2 \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \sin x — 1 = 0;$$ $$2 \sin x = 1;$$ $$\sin x = \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ:

$$x = 2 \pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Дано уравнение:

$$|\cos x| — \cos 3x = \sin 2x.$$

Шаг 1. Рассмотрение двух случаев в зависимости от знака $\cos x$

Поскольку в уравнении стоит модуль $|\cos x|$, нам нужно рассмотреть два варианта:

• Случай 1: $\cos x < 0$, тогда $|\cos x| = -\cos x$.
• Случай 2: $\cos x > 0$, тогда $|\cos x| = \cos x$.

Случай 1: $\cos x < 0$

Шаг 2. Подставляем $|\cos x| = -\cos x$

Уравнение становится:

$$-\cos x — \cos 3x = \sin 2x.$$

Переносим все в левую часть:

$$-\cos x — \cos 3x — \sin 2x = 0.$$

Шаг 3. Группируем слагаемые

$$-(\cos x + \cos 3x) — \sin 2x = 0.$$

Шаг 4. Используем формулу суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}.$$

Подставляем $A = x$, $B = 3x$:

$$\cos x + \cos 3x = 2 \cos \frac{x + 3x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2} = 2 \cos 2x \cdot \cos x.$$

Шаг 5. Переписываем уравнение:

$$-2 \cos 2x \cdot \cos x — \sin 2x = 0.$$

Шаг 6. Используем формулу синуса двойного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Подставляем:

$$-2 \cos 2x \cdot \cos x — 2 \sin x \cdot \cos x = 0.$$

Шаг 7. Вынесем общий множитель $-2 \cos x$:

$$-2 \cos x (\cos 2x + \sin x) = 0.$$

Шаг 8. Решаем уравнение произведения:

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\cos x = 0,$$

или

$$\cos 2x + \sin x = 0.$$

Шаг 9. Работаем со вторым уравнением $\cos 2x + \sin x = 0$

Используем формулу двойного угла для косинуса:

$$\cos 2x = 1 — 2 \sin^2 x.$$

Подставляем:

$$1 — 2 \sin^2 x + \sin x = 0.$$

Шаг 10. Обозначаем $y = \sin x$ и получаем квадратное уравнение:

$$1 — 2 y^2 + y = 0,$$

или

$$-2 y^2 + y + 1 = 0,$$

приведём к стандартному виду:

$$2 y^2 — y — 1 = 0.$$

Шаг 11. Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.$$

Корни:

$$y_1 = \frac{1 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2},$$ $$y_2 = \frac{1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1.$$

Шаг 12. Возвращаемся к $y = \sin x$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0.$$

Общее решение:

$$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 13. Решаем уравнения для $\sin x = y_1$ и $\sin x = y_2$

• Для

$$\sin x = -\frac{1}{2},$$

общее решение:

$$x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

• Для

$$\sin x = 1,$$

решение:

$$x = \arcsin 1 + 2 \pi n = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Случай 2: $\cos x > 0$

Шаг 14. Подставляем $|\cos x| = \cos x$

Уравнение становится:

$$\cos x — \cos 3x = \sin 2x.$$

Переносим всё в левую часть:

$$\cos x — \cos 3x — \sin 2x = 0.$$

Шаг 15. Используем формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}.$$

Подставляем $A = x$, $B = 3x$:

$$\cos x — \cos 3x = -2 \sin 2x \sin (-x) = 2 \sin 2x \sin x,$$

так как $\sin(-x) = -\sin x$.

Шаг 16. Подставляем в уравнение:

$$2 \sin 2x \sin x — \sin 2x = 0.$$

Шаг 17. Вынесем $\sin 2x$ за скобки:

$$\sin 2x (2 \sin x — 1) = 0.$$

Шаг 18. Решаем уравнение произведения:

$$\sin 2x = 0,$$

или

$$2 \sin x — 1 = 0.$$

Шаг 19. Решаем первое уравнение:

$$\sin 2x = 0.$$

Общее решение:

$$2x = \pi n,$$ $$x = \frac{\pi n}{2}.$$

Шаг 20. Уточнение по условию $\cos x > 0$

На интервале

$$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x < \frac{\pi}{2} + \pi n$$

косинус положителен. Из этого

$$x = 2 \pi n.$$

Шаг 21. Решаем второе уравнение:

$$2 \sin x — 1 = 0,$$ $$\sin x = \frac{1}{2}.$$

Общее решение:

$$x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Итоговые решения

Для $\cos x < 0$:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n.$$

Для $\cos x > 0$:

$$x = 2 \pi n; \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Объединённый ответ (с учётом повторов):

$$\boxed{ x = 2 \pi n; \quad x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{6} + \pi n. }$$