ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 882 Алимов — Подробные Ответы

На каком из рисунков 119 (а—г) изображены эскизы графиков функций, являющихся производными следующих функций: у = е^-х, у = ln (-х), у = sin 2х, у = 2 cos х?

а) $y = e^{-x}$;
$y'(x) = (e^{-x})’ = -e^{-x}$;
Пересечение с осью $y$:
$y'(0) = -e^0 = -1$;
Ответ: г.

б) $y = \ln(-x)$;
$y'(x) = (\ln(-x))’ = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}$;
Значение производной:
$y'(-1) = \frac{1}{-1} = -1$;
Ответ: а.

в) $y = \sin 2x$;
$y'(x) = (\sin 2x)’ = 2 \cos 2x$;
Пересечение с осью $x$:
$2 \cos 2x = 0$;
$\cos 2x = 0$;
$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$;
Ответ: в.

г) $y = 2 \cos x$;
$y'(x) = 2 \cdot (\cos x)’ = -2 \sin x$;
Пересечение с осью $x$:
$-2 \sin x = 0$;
$\sin x = 0$;
$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;
Ответ: б.

а) $y = e^{-x}$

Рассмотрим функцию $y = e^{-x}$. Нам нужно найти её производную и исследовать пересечение с осью $y$.

Нахождение производной:

Функция $y = e^{-x}$ является экспоненциальной функцией. Используя стандартное правило дифференцирования для экспоненциальной функции $e^{u(x)}$, где $u(x) = -x$, получаем:

$$y'(x) = \frac{d}{dx} e^{-x} = -e^{-x}.$$

Пересечение с осью $y$:

Чтобы найти пересечение с осью $y$, нам нужно вычислить значение производной при $x = 0$. То есть:

$$y'(0) = -e^0 = -1.$$

Ответ: г.

б) $y = \ln(-x)$

Теперь рассмотрим функцию $y = \ln(-x)$. Нам нужно найти её производную и вычислить значение производной при $x = -1$.

Нахождение производной:

Функция $y = \ln(-x)$ является натуральным логарифмом от $-x$. Используя стандартное правило дифференцирования для логарифмов, получаем:

$$y'(x) = \frac{d}{dx} \ln(-x) = \frac{-1}{-x} = \frac{1}{x}.$$

Значение производной при $x = -1$:

Теперь находим значение производной при $x = -1$:

$$y'(-1) = \frac{1}{-1} = -1.$$

Ответ: а.

в) $y = \sin 2x$

Рассмотрим функцию $y = \sin 2x$. Нужно найти её производную и определить пересечение с осью $x$.

Нахождение производной:

Используем правило дифференцирования для составной функции. Для функции $\sin(2x)$ применяем производную для синуса и умножаем на производную от $2x$:

$$y'(x) = \frac{d}{dx} \sin(2x) = 2 \cos(2x).$$

Пересечение с осью $x$:

Пересечение функции с осью $x$ происходит, когда производная равна нулю, то есть $y'(x) = 0$. Из уравнения:

$$2 \cos(2x) = 0$$

мы получаем:

$$\cos(2x) = 0.$$

Решаем это уравнение. Косинус равен нулю при $2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число. То есть:

$$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: в.

г) $y = 2 \cos x$

Рассмотрим функцию $y = 2 \cos x$. Нужно найти её производную и пересечение с осью $x$.

Нахождение производной:

Функция $y = 2 \cos x$ — это косинус с коэффициентом 2. Дифференцируем:

$$y'(x) = 2 \cdot \frac{d}{dx} \cos x = -2 \sin x.$$

Пересечение с осью $x$:

Пересечение функции с осью $x$ происходит, когда производная равна нулю, то есть $y'(x) = 0$. Из уравнения:

$$-2 \sin x = 0$$

мы получаем:

$$\sin x = 0.$$

Решаем это уравнение. Синус равен нулю при $x = \pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ: б.