ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1417 Алимов — Подробные Ответы

Исполь зуя графики тригонометрических функций, найти все решения неравенства, заключённые в промежутке [-Зпи;пи]:

1. 2 cos х- корень 3 < 0;
2. (корень 2)sinx+1 > =0;
3. (корень3) + tg х < = 0;
4. 3 tg х — 2 > 0.

Найти решения неравенства на отрезке $[-3\pi; \pi]$:

$2 \cos x — \sqrt{3} < 0$;
$2 \cos x < \sqrt{3}$;
$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$;
$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$;

Графики функций $y = \cos x$ и $y = \frac{\sqrt{3}}{2}$:

На искомом отрезке:
$-3\pi \leq x_1 < -\frac{13\pi}{6}$;
$-\frac{11\pi}{6} < x_2 < -\frac{\pi}{6}$;
$\frac{\pi}{6} < x_3 \leq \pi$;

2) $\sqrt{2} \sin x + 1 \geq 0$;
$\sqrt{2} \sin x \geq -1$;
$\sin x \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;
$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Графики функций $y = \sin x$ и $y = -\frac{\sqrt{2}}{2}$:

На искомом отрезке:
$-3\pi \leq x_1 \leq -\frac{11\pi}{4}$;
$-\frac{9\pi}{4} \leq x_2 \leq -\frac{3\pi}{4}$;
$-\frac{\pi}{4} \leq x_3 \leq \pi$;

3) $\sqrt{3} + \operatorname{tg} x \leq 0$;
$\operatorname{tg} x \leq -\sqrt{3}$;
$x = -\operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n$;

Графики функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = -\sqrt{3}$:

На искомом отрезке:
$-\frac{5\pi}{2} < x_1 \leq -\frac{7\pi}{3}$;
$-\frac{3\pi}{2} < x_2 \leq -\frac{4\pi}{3}$;
$-\frac{\pi}{2} < x_3 \leq -\frac{\pi}{3}$;
$\frac{\pi}{2} < x_4 \leq \frac{2\pi}{3}$;

$3 \operatorname{tg} x — 2 > 0$;
$3 \operatorname{tg} x > 2$;
$\operatorname{tg} x > \frac{2}{3}$;
$x = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n$;

Графики функций $y = \operatorname{tg} x$ и $y = \frac{2}{3}$:

На искомом отрезке:
$\operatorname{arctg} \frac{2}{3} — 3\pi < x_1 < -\frac{5\pi}{2}$;
$\operatorname{arctg} \frac{2}{3} — 2\pi < x_2 < -\frac{3\pi}{2}$;
$\operatorname{arctg} \frac{2}{3} — \pi < x_3 < -\frac{\pi}{2}$;
$\operatorname{arctg} \frac{2}{3} < x_4 < \frac{\pi}{2}$

Задача 1: $2 \cos x — \sqrt{3} < 0$

Шаг 1: Преобразуем неравенство

Начнем с преобразования неравенства:

$$2 \cos x — \sqrt{3} < 0$$

Добавим $\sqrt{3}$ к обеим частям:

$$2 \cos x < \sqrt{3}$$

Теперь разделим обе части на 2:

$$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Шаг 2: Находим критические углы

Для того чтобы решить неравенство $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$, нужно найти углы, для которых $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы знаем, что:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Таким образом, $x = \pm \frac{\pi}{6}$ будет теми углами, для которых $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 3: Решаем неравенство

Косинус — убывающая функция на интервале $[0, \pi]$, поэтому неравенство $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$ выполняется, когда $x$ лежит между $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$, а также на других периодах.

Так как косинус — периодическая функция с периодом $2\pi$, решение будет повторяться через $2\pi$. Таким образом, решения на отрезке $[-3\pi, \pi]$ будут следующие:

$$-3\pi \leq x_1 < -\frac{13\pi}{6}$$ $$-\frac{11\pi}{6} < x_2 < -\frac{\pi}{6}$$ $$\frac{\pi}{6} < x_3 \leq \pi$$

Ответ для задачи 1:

$$-3\pi \leq x_1 < -\frac{13\pi}{6}, \quad -\frac{11\pi}{6} < x_2 < -\frac{\pi}{6}, \quad \frac{\pi}{6} < x_3 \leq \pi$$

Задача 2: $\sqrt{2} \sin x + 1 \geq 0$

Шаг 1: Преобразуем неравенство

Начнем с преобразования неравенства:

$$\sqrt{2} \sin x + 1 \geq 0$$

Вычтем 1 из обеих сторон:

$$\sqrt{2} \sin x \geq -1$$

Теперь разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\sin x \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 2: Находим критические углы

Теперь необходимо найти углы, для которых $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Таким образом, $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ достигается в двух точках, на интервале $[0, 2\pi]$ — это углы $\frac{5\pi}{4}$ и $\frac{7\pi}{4}$.

Шаг 3: Решаем неравенство

Функция синуса — возрастающая на интервале $[0, \pi]$ и убывающая на интервале $[\pi, 2\pi]$. Поэтому неравенство $\sin x \geq -\frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется на интервалах между углами, где синус принимает значение $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Решения на отрезке $[-3\pi, \pi]$ будут:

$$-3\pi \leq x_1 \leq -\frac{11\pi}{4}$$ $$-\frac{9\pi}{4} \leq x_2 \leq -\frac{3\pi}{4}$$ $$-\frac{\pi}{4} \leq x_3 \leq \pi$$

Ответ для задачи 2:

$$-3\pi \leq x_1 \leq -\frac{11\pi}{4}, \quad -\frac{9\pi}{4} \leq x_2 \leq -\frac{3\pi}{4}, \quad -\frac{\pi}{4} \leq x_3 \leq \pi$$

Задача 3: $\sqrt{3} + \operatorname{tg} x \leq 0$

Шаг 1: Преобразуем неравенство

Начнем с преобразования неравенства:

$$\sqrt{3} + \operatorname{tg} x \leq 0$$

Вычтем $\sqrt{3}$ из обеих сторон:

$$\operatorname{tg} x \leq -\sqrt{3}$$

Шаг 2: Находим критические углы

Тангенс равен $-\sqrt{3}$ при угле $-\frac{\pi}{3}$. Таким образом, $x = -\frac{\pi}{3}$ — это точка, где тангенс равен $-\sqrt{3}$.

Шаг 3: Решаем неравенство

Тангенс — периодическая функция с периодом $\pi$. Неравенство $\operatorname{tg} x \leq -\sqrt{3}$ выполняется на интервалах:

$$-\frac{5\pi}{2} < x_1 \leq -\frac{7\pi}{3}$$ $$-\frac{3\pi}{2} < x_2 \leq -\frac{4\pi}{3}$$ $$-\frac{\pi}{2} < x_3 \leq -\frac{\pi}{3}$$ $$\frac{\pi}{2} < x_4 \leq \frac{2\pi}{3}$$

Ответ для задачи 3:

$$-\frac{5\pi}{2} < x_1 \leq -\frac{7\pi}{3}, \quad -\frac{3\pi}{2} < x_2 \leq -\frac{4\pi}{3}, \quad -\frac{\pi}{2} < x_3 \leq -\frac{\pi}{3}, \quad \frac{\pi}{2} < x_4 \leq \frac{2\pi}{3}$$

Задача 4: $3 \operatorname{tg} x — 2 > 0$

Шаг 1: Преобразуем неравенство

Начнем с преобразования неравенства:

$$3 \operatorname{tg} x — 2 > 0$$

Добавим 2 к обеим частям:

$$3 \operatorname{tg} x > 2$$

Теперь разделим обе части на 3:

$$\operatorname{tg} x > \frac{2}{3}$$

Шаг 2: Находим критические углы

Тангенс равен $\frac{2}{3}$ при угле $\operatorname{arctg} \frac{2}{3}$.

Таким образом, $x = \operatorname{arctg} \frac{2}{3}$ — это точка, где тангенс равен $\frac{2}{3}$.

Шаг 3: Решаем неравенство

Тангенс — периодическая функция с периодом $\pi$. Неравенство $\operatorname{tg} x > \frac{2}{3}$ выполняется на интервалах:

$$\operatorname{arctg} \frac{2}{3} — 3\pi < x_1 < -\frac{5\pi}{2}$$ $$\operatorname{arctg} \frac{2}{3} — 2\pi < x_2 < -\frac{3\pi}{2}$$ $$\operatorname{arctg} \frac{2}{3} — \pi < x_3 < -\frac{\pi}{2}$$ $$\operatorname{arctg} \frac{2}{3} < x_4 < \frac{\pi}{2}$$

Ответ для задачи 4:

$$\mathrm{arctg}\frac{2}{3}-3\pi <x_1<-\frac{5\pi }{2},\mathrm{arctg}\frac{2}{3}-2\pi <x_2<-\frac{3\pi }{2},$$

$$\operatorname{arctg} \frac{2}{3} — 3\pi < x_1 < -\frac{5\pi}{2}, \quad \operatorname{arctg} \frac{2}{3} — 2\pi < x_2 < -\frac{3\pi}{2}, \quad \operatorname{arctg} \frac{2}{3} — \pi < x_3 < -\frac{\pi}{2}, \quad \operatorname{arctg} \frac{2}{3} < x_4 < \frac{\pi}{2}$$

$$\operatorname{arctg} \frac{2}{3} — 3\pi < x_1 < -\frac{5\pi}{2}, \quad \operatorname{arctg} \frac{2}{3} — 2\pi < x_2 < -\frac{3\pi}{2}, \quad \operatorname{arctg} \frac{2}{3} — \pi < x_3 < -\frac{\pi}{2}, \quad \operatorname{arctg} \frac{2}{3} < x_4 < \frac{\pi}{2}$$