ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 627 Алимов — Подробные Ответы

1. cos3x — cos 5x = sin 4x;
2. sin 7x — sin x = cos 4x;
3. cos x + cos3x = 4 cos 2x;
4. sin2 x — cos2 x = cos 4x.

$\cos 3x — \cos 5x = \sin 4x$;

$$-2 \cdot \sin \frac{3x + 5x}{2} \cdot \sin \frac{3x — 5x}{2} = \sin 4x;$$ $$-2 \cdot \sin \frac{8x}{2} \cdot \sin \left( -\frac{2x}{2} \right) — \sin 4x = 0;$$ $$2 \cdot \sin 4x \cdot \sin x — \sin 4x = 0;$$ $$\sin 4x \cdot (2 \sin x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 4x = 0;$$ $$4x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot \pi n = \frac{\pi n}{4};$$

Второе уравнение:

$$2 \sin x — 1 = 0;$$ $$2 \sin x = 1;$$ $$\sin x = \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi n}{4}; \, (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

$\sin 7x — \sin x = \cos 4x$;

$$2 \cdot \sin \frac{7x — x}{2} \cdot \cos \frac{7x + x}{2} = \cos 4x;$$ $$2 \cdot \sin \frac{6x}{2} \cdot \cos \frac{8x}{2} — \cos 4x = 0;$$ $$2 \cdot \sin 3x \cdot \cos 4x — \cos 4x = 0;$$ $$\cos 4x \cdot (2 \sin 3x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos 4x = 0;$$ $$4x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4};$$

Второе уравнение:

$$2 \sin 3x — 1 = 0;$$ $$2 \sin 3x = 1;$$ $$\sin 3x = \frac{1}{2};$$ $$3x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}; \, (-1)^n \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}$.

$\cos x + \cos 3x = 4 \cos 2x$;

$$2 \cdot \cos \frac{x + 3x}{2} \cdot \cos \frac{x — 3x}{2} = 4 \cos 2x;$$ $$2 \cdot \cos \frac{4x}{2} \cdot \cos \left( -\frac{2x}{2} \right) — 4 \cos 2x = 0;$$ $$2 \cdot \cos 2x \cdot \cos x — 4 \cos 2x = 0;$$ $$2 \cos 2x \cdot (\cos x — 2) = 0;$$

Первое уравнение:

$$2 \cos 2x = 0;$$ $$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\cos x — 2 = 0;$$ $$\cos x = 2 \quad \text{(корней нет)};$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

$\sin^2 x — \cos^2 x = \cos 4x$;

$$-(\cos^2 x — \sin^2 x) = \cos^2 2x — \sin^2 2x;$$ $$-\cos 2x = \cos^2 2x — (1 — \cos^2 2x);$$ $$2 \cos^2 2x + \cos 2x — 1 = 0;$$

Пусть $y = \cos 2x$, тогда:

$$2y^2 + y — 1 = 0;$$ $$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9;$$ $$y_1 = \frac{-1 — 3}{2 \cdot 2} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2};$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = -1;$$ $$2x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot (\pi + 2\pi n) = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n; \, \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$.

1. Решение уравнения: $\cos 3x — \cos 5x = \sin 4x$

Дано:
$\cos 3x — \cos 5x = \sin 4x.$

Используем формулу для разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \cdot \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A — B}{2} \right).$$

Заменим в уравнении $A = 3x$ и $B = 5x$:

$$\cos 3x — \cos 5x = -2 \cdot \sin \left( \frac{3x + 5x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{3x — 5x}{2} \right)$$ $$-2 \cdot \sin \left( \frac{8x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{-2x}{2} \right) = \sin 4x.$$

Упростим выражения:

$$-2 \cdot \sin 4x \cdot \sin (-x) = \sin 4x.$$

Так как $\sin(-x) = -\sin(x)$, получаем:

$$2 \cdot \sin 4x \cdot \sin x = \sin 4x.$$

Теперь вынесем $\sin 4x$ за скобки:

$$\sin 4x \cdot (2 \sin x — 1) = 0.$$

Первое уравнение:

$$\sin 4x = 0.$$

Решение:

$$4x = \pi n \quad \text{(где } n \in \mathbb{Z} \text{)},$$ $$x = \frac{\pi n}{4}.$$

Второе уравнение:

$$2 \sin x — 1 = 0,$$ $$\sin x = \frac{1}{2}.$$

Решение:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi n}{4} \quad \text{и} \quad x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

2. Решение уравнения: $\sin 7x — \sin x = \cos 4x$

Дано:

$$\sin 7x — \sin x = \cos 4x.$$

Используем формулу для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A — B}{2} \right).$$

Заменим $A = 7x$ и $B = x$:

$$\sin 7x — \sin x = 2 \cdot \cos \left( \frac{7x + x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{7x — x}{2} \right).$$

Упростим выражения:

$$2 \cdot \cos 4x \cdot \sin 3x = \cos 4x.$$

Теперь вынесем $\cos 4x$ за скобки:

$$\cos 4x \cdot (2 \sin 3x — 1) = 0.$$

Первое уравнение:

$$\cos 4x = 0.$$

Решение:

$$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \text{(где } n \in \mathbb{Z} \text{)},$$ $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}.$$

Второе уравнение:

$$2 \sin 3x — 1 = 0,$$ $$\sin 3x = \frac{1}{2}.$$

Решение:

$$3x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n,$$ $$x = \frac{1}{3} \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}.$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4} \quad \text{и} \quad x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{18} + \frac{\pi n}{3}.$$

3. Решение уравнения: $\cos x + \cos 3x = 4 \cos 2x$

Дано:

$$\cos x + \cos 3x = 4 \cos 2x.$$

Используем формулу для суммы косинусов:

$$\cos A + \cos B = 2 \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right).$$

Заменим $A = x$ и $B = 3x$:

$$\cos x + \cos 3x = 2 \cdot \cos \left( \frac{x + 3x}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x — 3x}{2} \right).$$

Упростим выражения:

$$2 \cdot \cos 2x \cdot \cos x = 4 \cos 2x.$$

Теперь вынесем $2 \cos 2x$ за скобки:

$$2 \cos 2x \cdot (\cos x — 2) = 0.$$

Первое уравнение:

$$2 \cos 2x = 0,$$ $$\cos 2x = 0.$$

Решение:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \text{(где } n \in \mathbb{Z} \text{)},$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$$

Второе уравнение:

$$\cos x — 2 = 0 \quad \text{(корней нет, так как } \cos x \leq 1\text{)}.$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$$

4. Решение уравнения: $\sin^2 x — \cos^2 x = \cos 4x$

Дано:

$$\sin^2 x — \cos^2 x = \cos 4x.$$

Используем тождество для разности квадратов:

$$\sin^2 x — \cos^2 x = -(\cos^2 x — \sin^2 x) = -\cos 2x.$$

Заменим в уравнении:

$$-\cos 2x = \cos 4x.$$

Теперь преобразуем правую часть:

$$-\cos 2x = \cos^2 2x — \sin^2 2x.$$

Применяем тождество для косинуса двойного угла:

$$-\cos 2x = \cos 2x \cdot (2 \cos^2 2x — 1).$$

Перепишем уравнение в виде:

$$2 \cos^2 2x + \cos 2x — 1 = 0.$$

Пусть $y = \cos 2x$, тогда у нас квадратное уравнение:

$$2y^2 + y — 1 = 0.$$

Решим его с помощью дискриминанта:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{-1 — 3}{4} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}.$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x=-1,$$$$2x =$$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Второе уравнение:

$$\cos 2x = \frac{1}{2},$$ $$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n,$$ $$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \text{и} \quad x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n.$$