ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1021 Алимов — Подробные Ответы

1. параболой у = 2 — х2 и прямой у = -х;
2. прямой у = 1, осью Оу и графиком функции у = sin х при 0 < =x < = пи/2

1) $y = 2 — x^2$ и $y = -x$

Точки пересечения функций:

$$2 — x^2 = -x$$ $$x^2 — x — 2 = 0$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда:}$$ $$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-1}^{2} \left( (4 — x^2) — (2 — x) \right) dx = \left( 4 \cdot \frac{x^1}{1} — \frac{x^3}{3} — \left( 2 \cdot \frac{x^1}{1} — \frac{x^2}{2} \right) \right) \bigg|_{-1}^{2} =$$ $$= \left( 2x — \frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{-2}^{1} = 2 \cdot 1 — \frac{1^3}{3} — \frac{1^2}{2} — 2 \cdot (-2) + \frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} =$$ $$= 2 — \frac{1}{3} — \frac{1}{2} + 4 — \frac{8}{3} + \frac{4}{2} = 6 + 1,5 — 3 = 4,5;$$

Ответ: $4,5$.

2) $y = 1$ и $y = \sin x$ при $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$

Точки пересечения функций:

$$1 = \sin x$$ $$x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \text{ отсюда } x = \frac{\pi}{2};$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 — \sin x) \, dx = \left( \frac{x^1}{1} — (-\cos x) \right) \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (x + \cos x) \bigg|_{0}^{\frac{\pi}{2}} =$$ $$= \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} — 0 — \cos 0 = \frac{\pi}{2} + 0 — 1 = \frac{\pi}{2} — 1;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} — 1$.

1) $y = 2 — x^2$ и $y = -x$

Шаг 1: Найдём точки пересечения графиков функций

Чтобы найти точки пересечения двух графиков, приравниваем правые части уравнений:

$$2 — x^2 = -x$$

Переносим все слагаемые в одну сторону уравнения:

$$2 — x^2 + x = 0$$

Приведём подобные члены:

$$-x^2 + x + 2 = 0$$

Умножим всё уравнение на $-1$, чтобы старший коэффициент был положительным:

$$x^2 — x — 2 = 0$$

Это квадратное уравнение, решаем его по дискриминанту:

$$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Теперь найдём корни уравнения по формуле:

$$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 3}{2}$$ $$x_1 = \frac{1 — 3}{2} = \frac{-2}{2} = -1, \quad x_2 = \frac{1 + 3}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Теперь найдём соответствующие значения $y$, подставляя $x$ в одно из уравнений, например, $y = -x$:

$$x = -1 \Rightarrow y = -(-1) = 1, \quad x = 2 \Rightarrow y = -2$$

Значит, графики пересекаются в точках $A(-1,\ 1)$ и $B(2,\ -2)$.

Шаг 2: Найдём площадь фигуры, ограниченной графиками

График $y = 2 — x^2$ — это парабола, ветви которой направлены вниз.

График $y = -x$ — это прямая, наклонённая под углом $45^\circ$ вниз.

На интервале $x \in [-1; 2]$ верхней функцией будет $y = 2 — x^2$, нижней — $y = -x$. Поэтому формула для площади между графиками:

$$S = \int_{-1}^{2} \left[ (2 — x^2) — (-x) \right] dx = \int_{-1}^{2} (2 — x^2 + x) \, dx$$

Приведём выражение под интегралом:

$$S = \int_{-1}^{2} (-x^2 + x + 2) \, dx$$

Вычислим интеграл:

$$\int (-x^2 + x + 2) dx = \int -x^2 dx + \int x dx + \int 2 dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x$$

Теперь подставим пределы от $-1$ до $2$:

$$S = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-1}^{2}$$

Сначала подставим верхний предел $x = 2$:

$$-\frac{2^3}{3} + \frac{2^2}{2} + 2 \cdot 2 = -\frac{8}{3} + \frac{4}{2} + 4 = -\frac{8}{3} + 2 + 4 = -\frac{8}{3} + 6$$ $$= \frac{10}{3}$$

Теперь подставим нижний предел $x = -1$:

$$-\frac{(-1)^3}{3} + \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) = -\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{1}{2} — 2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} — 2$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{3} + \frac{1}{2} — 2 = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} — \frac{12}{6} = \frac{5 — 12}{6} = -\frac{7}{6}$$

Теперь найдём разность верхнего и нижнего пределов:

$$S = \frac{10}{3} — (-\frac{7}{6}) = \frac{10}{3} + \frac{7}{6}$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{20}{6} + \frac{7}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} = 4{,}5$$

Ответ к пункту 1:

$$\boxed{4{,}5}$$

2) $y = 1$ и $y = \sin x$, на интервале $0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}$

Шаг 1: Найдём точку пересечения графиков

Приравняем функции:

$$1 = \sin x$$

Синус равен 1, когда:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Так как ограничение: $x \in \left[0;\ \frac{\pi}{2} \right]$, выбираем:

$$x = \frac{\pi}{2}$$

Шаг 2: Площадь между функциями $y = 1$ и $y = \sin x$ на этом промежутке

На этом отрезке $\sin x \leq 1$, следовательно, верхняя функция — $y = 1$, нижняя — $y = \sin x$.

Площадь:

$$S = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (1 — \sin x) \, dx$$

Вычислим интеграл:

$$\int (1 — \sin x) dx = \int 1 dx — \int \sin x dx = x + \cos x$$

Теперь подставим пределы:

$$S = \left[ x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left( \frac{\pi}{2} + \cos \frac{\pi}{2} \right) — \left( 0 + \cos 0 \right)$$ $$= \left( \frac{\pi}{2} + 0 \right) — (0 + 1) = \frac{\pi}{2} — 1$$

Ответ к пункту 2:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} — 1}$$