ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 789 Алимов — Подробные Ответы

1. x1/2;
2. x2/3;
3. x^-2/7;
4. x^кореь 3.

1. $f(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$;
   $f'(x) = (\sqrt{x})’ = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;
2. $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$;
   $f'(x) = \left( x^{\frac{2}{3}} \right)’ = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3} \cdot x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$;
3. $f(x) = x^{-\frac{2}{7}}$;
   $f'(x) = \left( x^{-\frac{2}{7}} \right)’ = -\frac{2}{7} \cdot x^{-\frac{2}{7}-1} = -\frac{2}{7} \cdot x^{-\frac{9}{7}} = -\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{9}{7}}} = -\frac{2}{7\sqrt[7]{x^9}}$;
4. $f(x) = x^{\sqrt{3}}$;
   $f'(x) = \left( x^{\sqrt{3}} \right)’ = \sqrt{3} \cdot x^{\sqrt{3}-1}$

Пример 1:

Дано: $f(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

Нам нужно найти производную функции $f(x)$. Для этого используем правило дифференцирования степенных функций:

$$\frac{d}{dx} \left( x^n \right) = n \cdot x^{n-1}$$

где $n$ — степень числа $x$.

1. Функция: $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$. Здесь степень $n = \frac{1}{2}$.
2. Применение правила дифференцирования:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{-1}{2}}$$

3. Запись результата:
   Мы можем переписать $x^{-\frac{1}{2}}$ в виде дроби с положительным показателем в знаменателе:

   $$x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$

   Поэтому производная будет:

   $$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Ответ: производная функции $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ равна $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$.

Пример 2:

Дано: $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$

1. Функция: $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$. Здесь степень $n = \frac{2}{3}$.
2. Применение правила дифференцирования:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{\frac{2}{3}} \right) = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{2}{3}-1} = \frac{2}{3} \cdot x^{\frac{-1}{3}}$$

3. Запись результата:
   Мы можем записать $x^{-\frac{1}{3}}$ как $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$. Таким образом, получаем:

   $$f'(x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$$

   Для удобства записи, можно записать $x^{\frac{1}{3}}$ как $\sqrt[3]{x}$:

   $$f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$$

Ответ: производная функции $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ равна $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$.

Пример 3:

Дано: $f(x) = x^{-\frac{2}{7}}$

1. Функция: $f(x) = x^{-\frac{2}{7}}$. Здесь степень $n = -\frac{2}{7}$.
2. Применение правила дифференцирования:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{-\frac{2}{7}} \right) = -\frac{2}{7} \cdot x^{-\frac{2}{7}-1} = -\frac{2}{7} \cdot x^{-\frac{9}{7}}$$

3. Запись результата:
   Мы можем переписать $x^{-\frac{9}{7}}$ в виде дроби с положительным показателем в знаменателе:

   $$x^{-\frac{9}{7}} = \frac{1}{x^{\frac{9}{7}}}$$

   Таким образом, получаем:

   $$f'(x) = -\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{x^{\frac{9}{7}}}$$

   Это выражение можно записать в виде:

   $$f'(x) = -\frac{2}{7\sqrt[7]{x^9}}$$

Ответ: производная функции $f(x) = x^{-\frac{2}{7}}$ равна $f'(x) = -\frac{2}{7\sqrt[7]{x^9}}$.

Пример 4:

Дано: $f(x) = x^{\sqrt{3}}$

1. Функция: $f(x) = x^{\sqrt{3}}$. Здесь степень $n = \sqrt{3}$.
2. Применение правила дифференцирования:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( x^{\sqrt{3}} \right) = \sqrt{3} \cdot x^{\sqrt{3}-1}$$

Ответ: производная функции $f(x) = x^{\sqrt{3}}$ равна $f'(x) = \sqrt{3} \cdot x^{\sqrt{3}-1}$.

Итоговые выводы:

В этих примерах мы использовали стандартное правило дифференцирования степенных функций. Для дробных и иррациональных степеней:

• Для дробных степеней $n = \frac{a}{b}$ мы просто применяем правило дифференцирования $n \cdot x^{n-1}$, и затем приводим результат к более удобной форме.
• Для отрицательных дробных степеней результат всегда будет записан в виде дроби с положительным показателем в знаменателе.
• В случае иррациональной степени (например, $\sqrt{3}$), мы просто применяем правило дифференцирования как обычно.

1. $f(x) = x^{\frac{1}{2}}$ => $f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$
2. $f(x) = x^{\frac{2}{3}}$ => $f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$
3. $f(x) = x^{-\frac{2}{7}}$ => $f'(x) = -\frac{2}{7\sqrt[7]{x^9}}$
4. $f(x) = x^{\sqrt{3}}$ => $f'(x) = \sqrt{3} \cdot x^{\sqrt{3}-1}$