ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1578 Алимов — Подробные Ответы

(корень (3×3-22×2+40x)/(x-4) > =3x-10.

Решить неравенство:

$$\frac{\sqrt{3x^3 — 22x^2 + 40x}}{x — 4} \geq 3x — 10;$$

Если $x — 4 > 0$, отсюда $x > 4$, тогда:

$$\sqrt{x(3x^2 — 12x — 10x + 40)} \geq (3x — 10)(x — 4);$$ $$x(3x(x — 4) — 10(x — 4)) \geq (3x — 10)^2(x — 4)^2;$$ $$x(3x — 10)(x — 4) — (3x — 10)^2(x — 4)^2 \geq 0;$$ $$(3x — 10)(x — 4)\bigl(x — (3x — 10)(x — 4)\bigr) \geq 0;$$ $$(3x — 10)(x — 4)\bigl(3x^2 — 23x + 40\bigr) \leq 0;$$ $$\frac{1}{3} \cdot (3x — 10)(x — 4)\left(x^2 — 7\frac{2}{3} + \frac{40}{3}\right) \leq 0;$$ $$(3x — 10)(x — 4)\left(x^2 — 5x — \frac{8}{3}x + \frac{40}{3}\right) \leq 0;$$ $$(3x — 10)(x — 4)\left(x(x — 5) — \frac{8}{3}(x — 5)\right) \leq 0;$$ $$\left(x — \frac{8}{3}\right)(3x — 10)(x — 4)(x — 5) \leq 0;$$ $$2\frac{2}{3} \leq x \leq 3\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad 4 \leq x \leq 5;$$

Если $x < 4$, тогда:

$$\sqrt{x(3x^2 — 12x — 10x + 40)} \leq (3x — 10)(x — 4)$$ $$\left(x — \frac{8}{3}\right)(3x — 10)(x — 4)(x — 5) \geq 0;$$ $$x \leq 2\frac{2}{3}, \quad 3\frac{1}{3} \leq x \leq 4, \quad x \geq 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x — 4 \neq 0, \quad \text{отсюда } x \neq 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x(3x^2 — 22x + 40) \geq 0;$$ $$x(3x — 10)(x — 4) \geq 0;$$ $$0 \leq x \leq 3\frac{1}{3}, \quad x > 4;$$

Ответ:

$$0 \leq x \leq 2\frac{2}{3}; \quad x = 3\frac{1}{3}; \quad 4 < x \leq 5.$$

Задано неравенство:

$$\frac{\sqrt{3x^3 — 22x^2 + 40x}}{x — 4} \geq 3x — 10.$$

Для того чтобы решить это неравенство, сначала проанализируем его выражения и решим пошагово.

Шаг 1. Условия существования выражений

Перед тем как решать неравенство, важно определить, при каких значениях $x$ выражения в нем будут иметь смысл.

1. Для выражения под квадратным корнем $\sqrt{3x^3 — 22x^2 + 40x}$:

   Чтобы выражение под корнем было неотрицательным, необходимо, чтобы:

   $$3x^3 — 22x^2 + 40x \geq 0.$$

   Мы решим это неравенство позже, но для начала отметим, что $x = 4$ является особенностью, так как знаменатель $x — 4$ не может быть равен нулю. Следовательно, $x \neq 4$.

2. Для знаменателя $x — 4$:

   Мы должны исключить $x = 4$, так как деление на ноль невозможно:

   $$x \neq 4.$$

Таким образом, одно из основных ограничений на $x$: $x \neq 4$.

Шаг 2. Разбор неравенства

Теперь давайте разберем неравенство. Начнем с анализа его структуры и упростим.

Условие $x — 4 > 0$

Предположим, что $x — 4 > 0$, то есть $x > 4$. В этом случае мы можем умножить обе стороны неравенства на $x — 4$ (положительное число, поэтому знак неравенства не изменится). Получаем:

$$\sqrt{3x^3 — 22x^2 + 40x} \geq (3x — 10)(x — 4).$$

Теперь рассмотрим выражение под корнем $\sqrt{3x^3 — 22x^2 + 40x}$. Мы можем вынести $x$ за скобки, чтобы упростить его:

$$3x^3 — 22x^2 + 40x = x(3x^2 — 22x + 40).$$

Таким образом, выражение под корнем становится:

$$\sqrt{x(3x^2 — 22x + 40)}.$$

Теперь наше неравенство принимает вид:

$$\sqrt{x(3x^2 — 22x + 40)} \geq (3x — 10)(x — 4).$$

Шаг 3. Умножаем обе части на $x — 4$

Теперь умножаем обе части на $x — 4$, что можно делать, так как $x > 4$, и знак неравенства при этом не изменится:

$$x(3x^2 — 12x — 10x + 40) \geq (3x — 10)^2(x — 4)^2.$$

Упрощаем левую часть:

$$x(3x^2 — 12x — 10x + 40) = x(3x^2 — 22x + 40).$$

Это выражение можно переписать так:

$$x(3x — 10)(x — 4) — (3x — 10)^2(x — 4)^2 \geq 0.$$

Шаг 4. Преобразуем выражение

Теперь у нас есть более сложное выражение:

$$(3x — 10)(x — 4)\bigl(x — (3x — 10)(x — 4)\bigr) \geq 0.$$

Преобразуем внутреннее выражение и получаем:

$$(3x — 10)(x — 4)(3x^2 — 23x + 40) \leq 0.$$

Шаг 5. Решаем неравенство

Теперь мы решаем неравенство:

$$(3x — 10)(x — 4)(3x^2 — 23x + 40) \leq 0.$$

Это произведение трех множителей, и для того чтобы оно было отрицательным, хотя бы один из множителей должен быть отрицательным, а остальные — положительными.

Шаг 6. Проверка корней

Для того чтобы найти корни каждого множителя, мы решим:

1. $3x — 10 = 0 \Rightarrow x = \frac{10}{3}$.
2. $x — 4 = 0 \Rightarrow x = 4$.
3. $3x^2 — 23x + 40 = 0$. Мы решаем это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$$D = (-23)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 40 = 529 — 480 = 49.$$

Корни:

$$x = \frac{-(-23) \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{23 \pm 7}{6}.$$

Таким образом, корни:

$$x = \frac{30}{6} = 5 \quad \text{и} \quad x = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}.$$

Шаг 7. Решение интервалов

Теперь у нас есть пять критических точек: $x = \frac{10}{3}, x = 4, x = \frac{8}{3}, x = 5$.

Мы анализируем знак выражения $(3x — 10)(x — 4)(3x^2 — 23x + 40)$ на интервалах:

1. $(-\infty, \frac{8}{3})$
2. $(\frac{8}{3}, \frac{10}{3})$
3. $(\frac{10}{3}, 4)$
4. $(4, 5)$
5. $(5, +\infty)$

В результате анализа знаков получаем, что решение будет на интервалах:

$$0 \leq x \leq 2\frac{2}{3}; \quad x = 3\frac{1}{3}; \quad 4 < x \leq 5.$$

Ответ:

$$0 \leq x \leq 2\frac{2}{3}; \quad x = 3\frac{1}{3}; \quad 4 < x \leq 5.$$