ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1256 Алимов — Подробные Ответы

Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби:

1. $\frac{5}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$
2. $\frac{3}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}$
3. $\frac{12}{\sqrt{10}-\sqrt{\mathrm{}}}$
4. $\frac{8}{\sqrt{11}+\sqrt{3}}$

Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби:

1. $\frac{5}{\sqrt{3} — \sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} — \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{3 — 2} = 5(\sqrt{3} + \sqrt{2})$;
   Ответ: $5(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.
2. $\frac{3}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{6} — \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} — \sqrt{5})} = \frac{3(\sqrt{6} — \sqrt{5})}{6 — 5} = 3(\sqrt{6} — \sqrt{5})$;
   Ответ: $3(\sqrt{6} — \sqrt{5})$.
3. $\frac{12}{\sqrt{10} — \sqrt{7}} = \frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{(\sqrt{10} — \sqrt{7})(\sqrt{10} + \sqrt{7})} = \frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{10 — 7} = 4(\sqrt{10} + \sqrt{7})$;
   Ответ: $4(\sqrt{10} + \sqrt{7})$.
4. $\frac{8}{\sqrt{11} + \sqrt{3}} = \frac{8(\sqrt{11} — \sqrt{3})}{(\sqrt{11} + \sqrt{3})(\sqrt{11} — \sqrt{3})} = \frac{8(\sqrt{11} — \sqrt{3})}{11 — 3} = \sqrt{11} — \sqrt{3}$;
   Ответ: $\sqrt{11} — \sqrt{3}$.

1) $\frac{5}{\sqrt{3} — \sqrt{2}}$

Шаг 1: Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{3} + \sqrt{2}$. Это важно, так как произведение $(\sqrt{3} — \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})$ будет равно разности квадратов, и корни исчезнут. Получаем:

$$\frac{5}{\sqrt{3} — \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} = \frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(\sqrt{3} — \sqrt{2})(\sqrt{3} + \sqrt{2})}.$$

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов

Используем формулу разности квадратов $(a — b)(a + b) = a^2 — b^2$, где $a = \sqrt{3}$ и $b = \sqrt{2}$. Таким образом, знаменатель становится:

$$(\sqrt{3})^2 — (\sqrt{2})^2 = 3 — 2 = 1.$$

Шаг 3: Упростим выражение

Теперь мы можем упростить дробь, поскольку знаменатель равен 1:

$$\frac{5(\sqrt{3} + \sqrt{2})}{1} = 5(\sqrt{3} + \sqrt{2}).$$

Ответ: $5(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.

2) $\frac{3}{\sqrt{6} + \sqrt{5}}$

Шаг 1: Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{6} — \sqrt{5}$:

$$\frac{3}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{6} — \sqrt{5}}{\sqrt{6} — \sqrt{5}} = \frac{3(\sqrt{6} — \sqrt{5})}{(\sqrt{6} + \sqrt{5})(\sqrt{6} — \sqrt{5})}.$$

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов

Используем формулу разности квадратов для знаменателя, где $a = \sqrt{6}$ и $b = \sqrt{5}$:

$$(\sqrt{6})^2 — (\sqrt{5})^2 = 6 — 5 = 1.$$

Шаг 3: Упростим выражение

Теперь мы можем упростить дробь, поскольку знаменатель равен 1:

$$\frac{3(\sqrt{6} — \sqrt{5})}{1} = 3(\sqrt{6} — \sqrt{5}).$$

Ответ: $3(\sqrt{6} — \sqrt{5})$.

3) $\frac{12}{\sqrt{10} — \sqrt{7}}$

Шаг 1: Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{10} + \sqrt{7}$:

$$\frac{12}{\sqrt{10} — \sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{10} + \sqrt{7}}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} = \frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{(\sqrt{10} — \sqrt{7})(\sqrt{10} + \sqrt{7})}.$$

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов

Используем формулу разности квадратов для знаменателя, где $a = \sqrt{10}$ и $b = \sqrt{7}$:

$$(\sqrt{10})^2 — (\sqrt{7})^2 = 10 — 7 = 3.$$

Шаг 3: Упростим выражение

Теперь мы можем упростить дробь:

$$\frac{12(\sqrt{10} + \sqrt{7})}{3} = 4(\sqrt{10} + \sqrt{7}).$$

Ответ: $4(\sqrt{10} + \sqrt{7})$.

4) $\frac{8}{\sqrt{11} + \sqrt{3}}$

Шаг 1: Умножаем числитель и знаменатель на сопряженное выражение

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $\sqrt{11} — \sqrt{3}$:

$$\frac{8}{\sqrt{11} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{11} — \sqrt{3}}{\sqrt{11} — \sqrt{3}} = \frac{8(\sqrt{11} — \sqrt{3})}{(\sqrt{11} + \sqrt{3})(\sqrt{11} — \sqrt{3})}.$$

Шаг 2: Применяем формулу разности квадратов

Используем формулу разности квадратов для знаменателя, где $a = \sqrt{11}$ и $b = \sqrt{3}$:

$$(\sqrt{11})^2 — (\sqrt{3})^2 = 11 — 3 = 8.$$

Шаг 3: Упростим выражение

Теперь мы можем упростить дробь:

$$\frac{8(\sqrt{11} — \sqrt{3})}{8} = \sqrt{11} — \sqrt{3}.$$

Ответ: $\sqrt{11} — \sqrt{3}$.

Итог:

1. $\frac{5}{\sqrt{3} — \sqrt{2}} = 5(\sqrt{3} + \sqrt{2})$.
2. $\frac{3}{\sqrt{6} + \sqrt{5}} = 3(\sqrt{6} — \sqrt{5})$.
3. $\frac{12}{\sqrt{10} — \sqrt{7}} = 4(\sqrt{10} + \sqrt{7})$.
4. $\frac{8}{\sqrt{11} + \sqrt{3}} = \sqrt{11} — \sqrt{3}$.