ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 780 Алимов — Подробные Ответы

Используя определение производной, найти f'(x), если:

1. f(x) =3x+2;
2. f(x) =5x+7;
3. f(x) =3×2-5x;
4. f(x) =-3×2+2.

1. $f(x)=3x+2$;

$$\mathrm{\Delta }f=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{3(x+h)+2-3x-2}{h}=\frac{3x+3h-3x}{h}=\frac{3h}{h}=3;$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }3=3;$$

Ответ: 3.

2. $f(x)=5x+7$;

$$\mathrm{\Delta }f=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{5(x+h)+7-5x-7}{h}=\frac{5x+5h-5x}{h}=\frac{5h}{h}=5;$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }5=5;$$

Ответ: 5.

3. $f(x)=3x^2-5x$;

$$\mathrm{\Delta }f=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{3(x+h{)}^2-5(x+h)-(3x^2-5x)}{h};$$$$\mathrm{\Delta }f=\frac{3(x^2+2xh+h^2)-5x-5h-3x^2+5x}{h}=$$

$$=\frac{3x^2+6xh+3h^2-5x-5h-3x^2+5x}{h}=$$

$$=\frac{6xh+3h^2-5h}{h}=6x+3h-5;$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }(6x+3h-5)=6x+3\cdot 0-5=6x-5;$$

Ответ: $6x-5$.

4. $f(x)=-3x^2+2$;

$$\mathrm{\Delta }f=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-3(x+h{)}^2+2-(-3x^2+2)}{h};$$$$\mathrm{\Delta }f=\frac{-3(x^2+2xh+h^2)+2+3x^2-2}{h}=\frac{-3x^2-6xh-3h^2+3x^2}{h}=$$

$$=\frac{-6xh-3h^2}{h}=-6x-3h;$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }(-6x-3h)=-6x-3\cdot 0=-6x;$$

Ответ: $-6x$.

Нам нужно найти производные для четырех функций, используя определение производной через предел. В каждом случае мы будем вычислять разность функции на малом интервале $h$ и затем вычислять предел этой разности при $h\to 0$.

Шаг 1: Определение производной через предел

Производная функции $f(x)$ в точке $x$ определяется как предел:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

где:

• $f(x+h)$ — это значение функции в точке $x+h$,
• $f(x)$ — это значение функции в точке $x$,
• $h$ — это малое приращение переменной $x$.

Мы будем использовать эту формулу для каждой из заданных функций.

Шаг 2: Решение для функции $f(x)=3x+2$

Подставим функцию $f(x)=3x+2$ в формулу для производной:

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{3(x+h)+2-(3x+2)}{h}$$

Раскроем скобки и упростим:

$$\frac{3(x+h)+2-3x-2}{h}=\frac{3x+3h+2-3x-2}{h}=\frac{3h}{h}$$

Упростим дробь:

$$=3$$

Теперь вычислим предел при $h\to 0$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }3=3$$

Ответ для первой функции: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3$.

Шаг 3: Решение для функции $f(x)=5x+7$

Подставим функцию $f(x)=5x+7$ в формулу для производной:

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{5(x+h)+7-(5x+7)}{h}$$

Раскроем скобки и упростим:

$$\frac{5(x+h)+7-5x-7}{h}=\frac{5x+5h+7-5x-7}{h}=\frac{5h}{h}$$

Упростим дробь:

$$=5$$

Теперь вычислим предел при $h\to 0$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }5=5$$

Ответ для второй функции: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=5$.

Шаг 4: Решение для функции $f(x)=3x^2-5x$

Подставим функцию $f(x)=3x^2-5x$ в формулу для производной:

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{3(x+h{)}^2-5(x+h)-(3x^2-5x)}{h}$$

Раскроем скобки и упростим:

$$3(x+h{)}^2=3(x^2+2xh+h^2)=3x^2+6xh+3h^2$$$$-5(x+h)=-5x-5h$$

Теперь подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{3(x^2+2xh+h^2)-5(x+h)-(3x^2-5x)}{h}=\frac{3x^2+6xh+3h^2-5x-5h-3x^2+5x}{h}$$

Упростим числитель:

$$=\frac{6xh+3h^2-5h}{h}$$

Разделим каждое слагаемое на $h$:

$$=6x+3h-5$$

Теперь вычислим предел при $h\to 0$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }(6x+3h-5)=6x-5$$

Ответ для третьей функции: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=6x-5$.

Шаг 5: Решение для функции $f(x)=-3x^2+2$

Подставим функцию $f(x)=-3x^2+2$ в формулу для производной:

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-3(x+h{)}^2+2-(-3x^2+2)}{h}$$

Раскроем скобки и упростим:

$$-3(x+h{)}^2=-3(x^2+2xh+h^2)=-3x^2-6xh-3h^2$$$$-(-3x^2+2)=3x^2-2$$

Теперь подставляем это в исходное выражение:

$$\frac{-3(x^2+2xh+h^2)+2+3x^2-2}{h}=\frac{-3x^2-6xh-3h^2+3x^2}{h}$$

Упростим числитель:

$$=\frac{-6xh-3h^2}{h}$$

Разделим каждое слагаемое на $h$:

$$=-6x-3h$$

Теперь вычислим предел при $h\to 0$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\underset{h\to 0}{\lim }(-6x-3h)=-6x$$

Ответ для четвертой функции: $f^{\mathrm{\prime }}(x)=-6x$.

Итоговое решение:

Для функции $f(x)=3x+2$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3$$

Для функции $f(x)=5x+7$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=5$$

Для функции $f(x)=3x^2-5x$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=6x-5$$

Для функции $f(x)=-3x^2+2$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-6x$$