ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 364 Алимов — Подробные Ответы

1. log^2 0,2(x) — 5log0,2(x) < -6;
2. log^2 0,1(x) + 3log0,1(x) > 4.

Задача 1:

$${\log }_{0.2}^{2}x-5{\log }_{0.2}x<-6;$$

$$\log_{0.2}^2 x — 5 \log_{0.2} x < -6;$$ $$\log_{0.2}^2 x — 5 \log_{0.2} x + 6 < 0;$$

Пусть $y = \log_{0.2} x$, тогда:

$$y^2 — 5y + 6 < 0;$$

Решаем квадратное неравенство:

$$D=5^2-4\cdot 6=25-24=1,$$

$$D = 5^2 — 4 \cdot 6 = 25 — 24 = 1,$$ $$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3.$$

Таким образом:

$$(y — 2)(y — 3) < 0.$$

Решение неравенства:

$$2 < y < 3.$$

Первое значение:

$${\log }_{0.2}x>2;$$

$$\log_{0.2} x > 2;$$ $${\log }_{\frac{1}{5}}x>{\log }_{\frac{1}{5}}{\left(\frac{1}{5}\right)}^2;$$

$$\log_{\frac{1}{5}} x > \log_{\frac{1}{5}} \left( \frac{1}{5} \right)^2;$$ $$x < \left( \frac{1}{5} \right)^2, \text{ отсюда } x < \frac{1}{25}.$$

Второе значение:

$${\log }_{0.2}x<3;$$

$$\log_{0.2} x < 3;$$ $${\log }_{\frac{1}{5}}x<{\log }_{\frac{1}{5}}{\left(\frac{1}{5}\right)}^3;$$

$$\log_{\frac{1}{5}} x < \log_{\frac{1}{5}} \left( \frac{1}{5} \right)^3;$$ $$x > \left( \frac{1}{5} \right)^3, \text{ отсюда } x > \frac{1}{125}.$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0.$$

Ответ:

$$\frac{1}{125} < x < \frac{1}{25}.$$

Задача 2:

$${\log }_{0.1}^{2}x+3{\log }_{0.1}x>4;$$

$$\log_{0.1}^2 x + 3 \log_{0.1} x > 4;$$ $$\log_{0.1}^2 x + 3 \log_{0.1} x — 4 > 0;$$

Пусть $y = \log_{0.1} x$, тогда:

$$y^2 + 3y — 4 > 0;$$

Решаем квадратное неравенство:

$$D=3^2+4\cdot 4=9+16=25,$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25,$$ $$y_1 = \frac{-3 — 5}{2} = -4, \quad y_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1.$$

Таким образом:

$$(y + 4)(y — 1) > 0.$$

Решение неравенства:

$$y < -4 \quad \text{и} \quad y > 1.$$

Первое значение:

$${\log }_{0.1}x<-4;$$

$$\log_{0.1} x < -4;$$ $${\log }_{0.1}x<{\log }_{0.1}(0.1{)}^{-4};$$

$$\log_{0.1} x < \log_{0.1} (0.1)^{-4};$$ $$x > (0.1)^{-4}, \text{ отсюда } x > 10000.$$

Второе значение:

$${\log }_{0.1}x>1;$$

$$\log_{0.1} x > 1;$$ $$\log_{0.1} x > \log_{0.1} 0.1, \text{ отсюда } x < 0.1.$$

Выражение имеет смысл при:

$$x > 0.$$

Ответ:

$$0 < x < 0.1; \quad x > 10000.$$

Задача 1

Условие:

$$\log_{0.2}^2 x — 5 \log_{0.2} x < -6$$

Шаг 1. Преобразуем уравнение

Приведём левую часть к стандартному квадратному виду:

$$\log_{0.2}^2 x — 5 \log_{0.2} x + 6 < 0$$

Введём замену переменной:

$$y = \log_{0.2} x \Rightarrow y^2 — 5y + 6 < 0$$

Шаг 2. Решим квадратное неравенство

Находим дискриминант:

$$D = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1$$

Корни:

$$y_1 = \frac{5 — 1}{2} = 2, \quad y_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3$$

Так как коэффициент при $y^2$ положительный (ветви вверх), то неравенство $< 0$ выполняется между корнями:

$$2 < y < 3$$

Шаг 3. Вернёмся к логарифму

$$2 < \log_{0.2} x < 3$$

Так как основание логарифма $0.2 = \frac{1}{5} < 1$, логарифмическая функция убывающая — при переходе к неравенству нужно менять знаки:

• Для левой границы:

  $$\log_{0.2} x > 2 \Rightarrow x < 0.2^2 = \frac{1}{25}$$

• Для правой границы:

  $$\log_{0.2} x < 3 \Rightarrow x > 0.2^3 = \frac{1}{125}$$

Шаг 4. Область допустимых значений

$$x > 0 \quad \text{(так как логарифм определён только при положительном аргументе)}$$

Шаг 5. Пересекаем все условия

Итак:

• $x < \frac{1}{25}$
• $x > \frac{1}{125}$
• $x > 0$

Пересечение:

$$\frac{1}{125} < x < \frac{1}{25}$$

Ответ:

$$\frac{1}{125} < x < \frac{1}{25}$$

Задача 2

Условие:

$$\log_{0.1}^2 x + 3 \log_{0.1} x > 4$$

Шаг 1. Приведём к стандартной форме

$$\log_{0.1}^2 x + 3 \log_{0.1} x — 4 > 0$$

Заменим:

$$y = \log_{0.1} x \Rightarrow y^2 + 3y — 4 > 0$$

Шаг 2. Решим квадратное неравенство

Находим дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

Корни:

$$y_1 = \frac{-3 — \sqrt{25}}{2} = \frac{-8}{2} = -4, \quad y_2 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$

Ветви параболы вверх, значит:

$$y < -4 \quad \text{или} \quad y > 1$$

Шаг 3. Вернёмся к переменной

Рассмотрим оба интервала:

Интервал 1: $y < -4$

$$\log_{0.1} x < -4$$

Основание $0.1 < 1$ — логарифм убывает, знак меняется:

$$x > 0.1^{-4} = 10^4 = 10000$$

Интервал 2: $y > 1$

$$\log_{0.1} x > 1 \Rightarrow x < 0.1^1 = 0.1$$

Шаг 4. ОДЗ

$$x > 0 \quad \text{(по определению логарифма)}$$

Шаг 5. Пересекаем оба интервала с ОДЗ

• Из первого: $x > 10000$
• Из второго: $0 < x < 0.1$

Ответ:

$$0 < x < 0.1; \quad x > 10000$$