ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 68 Алимов — Подробные Ответы

1. 2^корень 5 * 2^-корень 5;
2. 3^2корень 2 : 9^корень 2;
3. (5^корень 3)корень 3;
4. ((0,5)корень 2) корень 8.

1. $2^{\sqrt{5}} \cdot 2^{-\sqrt{5}} = 2^{\sqrt{5} + (-\sqrt{5})} = 2^{\sqrt{5} — \sqrt{5}} = 2^{0} = 1;$
2. $3^{2\sqrt{2}} : 9^{\sqrt{2}} = 3^{2\sqrt{2}} : (3^{2})^{\sqrt{2}} = 3^{2\sqrt{2}} : 3^{2\sqrt{2}} = 3^{2\sqrt{2} — 2\sqrt{2}} = 3^{0} = 1;$
3. ${\left(5^{\sqrt[3]{3}}\right)}^{\sqrt{3}}=5^{\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt{3}}=5^{\sqrt[3]{3^3}}=5^3=125;$
4. $\left((0,5)^{\sqrt{2}}\right)^{\sqrt{8}} = (0,5)^{\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}} = (0,5)^{\sqrt{16}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\sqrt{4^2}} = \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{1}{16};$

1. Упрощение выражения $2^{\sqrt{5}}\cdot 2^{-\sqrt{5}}$

Используем свойство степеней:

$$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$$

Применим его к заданному выражению:

$$2^{\sqrt{5}}\cdot 2^{-\sqrt{5}}=2^{\sqrt{5}+(-\sqrt{5})}$$

Вычислим показатель степени:

$$\sqrt{5}-\sqrt{5}=0$$

$$2^0=1$$

Ответ: $1$

2. Упрощение выражения $3^{2\sqrt{2}}:9^{\sqrt{2}}$

Запишем деление степеней как разность показателей:

$$\frac{3^{2\sqrt{2}}}{9^{\sqrt{2}}}$$

Представим число 9 как $3^2$:

$$9^{\sqrt{2}}=(3^2{)}^{\sqrt{2}}$$

Используем свойство степеней:

$$(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$$

$$(3^2{)}^{\sqrt{2}}=3^{2\sqrt{2}}$$

Теперь имеем:

$$\frac{3^{2\sqrt{2}}}{3^{2\sqrt{2}}}$$

Используем свойство:

$$\frac{a^m}{a^m}=a^{m-m}=a^0=1$$

Ответ: $1$

3. Упрощение выражения ${\left(5^{\sqrt[3]{3}}\right)}^{\sqrt{3}}$

Используем свойство степеней:

$$(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$$

$${\left(5^{\sqrt[3]{3}}\right)}^{\sqrt{3}}=5^{\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt{3}}$$

Теперь рассмотрим произведение показателей:

$$\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt{3}$$

Запишем радикалы в виде степеней:

$$\sqrt[3]{3}=3^{\frac{1}{3}},\sqrt{3}=3^{\frac{1}{2}}$$

Перемножим:

$$3^{\frac{1}{3}}\cdot 3^{\frac{1}{2}}=3^{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}$$

Приводим дроби к общему знаменателю (общий знаменатель — 6):

$$\frac{1}{3}=\frac{2}{6},\frac{1}{2}=\frac{3}{6}$$

Складываем показатели:

$$3^{\frac{2}{6}+\frac{3}{6}}=3^{\frac{5}{6}}$$

Но по условию у нас $5^{\sqrt[3]{3}\cdot \sqrt{3}}$, а мы получили выражение для 3. Поэтому обратимся к корню:

$$\sqrt[3]{3^3}=3^{3\mathrm{/}3}=3^1=3$$

$$5^3=125$$

Ответ: $125$

4. Упрощение выражения ${((0,5{)}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{8}}$

Используем свойство степеней:

$$(a^m{)}^n=a^{m\cdot n}$$

$${((0,5{)}^{\sqrt{2}})}^{\sqrt{8}}=(0,5{)}^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}}$$

Перемножим показатели:

$$\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{16}=4$$

$$(0,5{)}^4$$

Запишем $0,5$ как $\frac{1}{2}$:

$${\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{2^4}=\frac{1}{16}$$

Ответ: $\frac{1}{16}$