ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 615 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что tg (arctg а) = а при любом а. Вычислить:

1. tg (arctg 2,1);
2. tg (arctg (-0,3));
3. tg (пи — arctg 7);
4. ctg (пи/2 + arctg 6 ).

По определению арктангенса:

$$\arctg a = x, \quad \text{если} \quad \tg x = a \quad \text{и} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

Пусть $a$ — положительное число, тогда:

$$\tg(\arctg a) = \tg x = a$$ $$\tg(\arctg(-a)) = \tg(-\arctg(a)) = \tg(-x) = -\tg x = -a$$

1. $\tg(\arctg 2,1) = 2,1$
2. $\tg(\arctg(-0,3)) = -0,3$
3. $\tg(\pi — \arctg 7) = \tg(-\arctg 7) = -\tg(\arctg 7) = -7$
4. $\ctg\left(\frac{\pi}{2} + \arctg 6\right) = -\tg(\arctg 6) = -6$

Определение:

$$\arctg a = x, \quad \text{если} \quad \tg x = a \quad \text{и} \quad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$$

Это означает, что арктангенс $a$ (или $\arctg a$) — это такой угол $x$, для которого тангенс этого угла равен $a$, и $x$ лежит в интервале от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$. Это важно для того, чтобы арктангенс был однозначной функцией, так как тангенс имеет период $\pi$, и без ограничения на интервал $-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}$ (где тангенс инъективен) не было бы единственного значения.

Теперь давайте рассмотрим несколько случаев для вычислений.

Шаг 1: Использование свойств арктангенса

Пусть $a$ — положительное число. Тогда из определения:

$$\tg(\arctg a) = \tg x = a$$

Где $x = \arctg a$ — угол, для которого $\tg x = a$. Это простое следствие из того, что арктангенс возвращает тот угол, для которого тангенс равен $a$.

Также, если $a$ — положительное число, то для отрицательного значения аргумента арктангенса можно использовать следующее равенство:

$$\tg(\arctg(-a)) = \tg(-\arctg(a)) = \tg(-x) = -\tg x = -a$$

Здесь мы воспользовались тем, что $\tg(-x) = -\tg x$, и таким образом, для $\arctg(-a)$ получается отрицательное значение тангенса $-a$.

Шаг 2: Разбор примеров

1) $\tg(\arctg 2,1)$

Из определения арктангенса знаем, что $\arctg 2,1$ — это угол, тангенс которого равен 2,1. Следовательно:

$$\tg(\arctg 2,1) = 2,1$$

Этот результат очевиден, так как $\arctg 2,1$ — это угол, для которого $\tg x = 2,1$, и по свойствам арктангенса мы получаем обратное значение.

Ответ:

$$\tg(\arctg 2,1) = 2,1$$

2) $\tg(\arctg(-0,3))$

Здесь $\arctg(-0,3)$ — это угол, для которого $\tg x = -0,3$. По свойствам арктангенса:

$$\tg(\arctg(-0,3)) = -0,3$$

Это также прямое следствие определения арктангенса. Угол $\arctg(-0,3)$ будет таким, что его тангенс равен $-0,3$, и именно это мы и получаем.

Ответ:

$$\tg(\arctg(-0,3)) = -0,3$$

3) $\tg(\pi — \arctg 7)$

Здесь мы рассматриваем выражение $\tg(\pi — \arctg 7)$. Важно заметить, что $\arctg 7$ — это угол, для которого $\tg x = 7$. Теперь применим тригонометрическую идентичность для тангенса:

$$\tg(\pi — x) = -\tg(x)$$

Это стандартная формула для тангенса угла, вычитаемого из $\pi$. Следовательно:

$$\tg(\pi — \arctg 7) = -\tg(\arctg 7) = -7$$

Мы использовали то, что $\tg(\arctg 7) = 7$, и применили идентичность для $\tg(\pi — x)$.

Ответ:

$$\tg(\pi — \arctg 7) = -7$$

4) $\ctg\left(\frac{\pi}{2} + \arctg 6\right)$

Здесь мы имеем $\ctg \left( \frac{\pi}{2} + \arctg 6 \right)$. Для того, чтобы упростить это выражение, воспользуемся свойством котангенса. Мы знаем, что:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\tg(x)$$

Это стандартная формула для котангенса с углом $\frac{\pi}{2} + x$. Теперь подставим $x = \arctg 6$, где $\tg(\arctg 6) = 6$:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{2} + \arctg 6\right) = -\tg(\arctg 6) = -6$$

Ответ:

$$\ctg\left(\frac{\pi}{2} + \arctg 6\right) = -6$$

Итоговый ответ:

1. $\tg(\arctg 2,1) = 2,1$
2. $\tg(\arctg(-0,3)) = -0,3$
3. $\tg(\pi — \arctg 7) = -7$
4. $\ctg\left(\frac{\pi}{2} + \arctg 6\right) = -6$