ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1615 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство:

$$\frac{7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}}{x-3}<-1;$$

Знаменатель дроби:

$$x-3>0;$$$$x>3;$$

Если $x>3$, тогда:

$$7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}<-1\cdot (x-3);$$$$\sqrt{x^2+3x-4}<-x+3-7+3x;$$$$\sqrt{x^2+3x-4}<2x-4;$$$$x^2+3x-4<4x^2-16x+16;$$$$3x^2-19x+20>0;$$$$D={19}^2-4\cdot 3\cdot 20=361-240=121,\text{тогда:}$$$$x_1=\frac{19-11}{2\cdot 3}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}\text{и}{x}_2=\frac{19+11}{2\cdot 3}=5;$$$$(x-\frac{4}{3})(x-5)>0;$$$$x<\frac{4}{3}\text{и}x>5;$$

Если $x<3$, тогда:

$$7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}>-1\cdot (x-3);$$$$\sqrt{x^2+3x-4}>2x-4;$$

Правая часть неравенства:

$$2x-4\ge 0;$$$$x-2\ge 0,\text{отсюда }x\ge 2;$$

Если $2\le x<3$, тогда:

$$x^2+3x-4>4x^2+16x+16;$$$$3x^2-19x+20<0;$$$$(x-\frac{4}{3})(x-5)<0;$$$$\frac{4}{3}<x<5;$$

Если $x<2$, тогда:
Верно при любом допустимом значении $x$;

Выражение имеет смысл при:

$$x^2+3x-4\ge 0;$$$$D=3^2+4\cdot 4=9+16=25,\text{тогда:}$$$$x_1=\frac{-3-5}{2}=-4\text{и}{x}_2=\frac{-3+5}{2}=1;$$$$(x+4)(x-1)\ge 0;$$$$x\le -4\text{и}x\ge 1;$$

Ответ: $x\in (-\mathrm{\infty };-4]\cup [1;3)\cup (5;+\mathrm{\infty })$.

Дано неравенство:

$$\frac{7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}}{x-3}<-1.$$

Шаг 1: Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Чтобы решить это неравенство, нужно прежде всего найти область допустимых значений для выражения под корнем и знаменателя.

Знаменатель дроби: $x-3$

Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому:

$$x-3\mathrm{\ne }0\Rightarrow x\mathrm{\ne }3.$$

Корень $\sqrt{x^2+3x-4}$

Для того чтобы выражение под корнем имело смысл, необходимо, чтобы $x^2+3x-4\ge 0$.

Найдем корни квадратного уравнения:

$$x^2+3x-4=0.$$

Для этого воспользуемся дискриминантом:

$$D=b^2-4ac=3^2-4\cdot 1\cdot (-4)=9+16=25.$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-3-5}{2}=-4,x_2=\frac{-3+5}{2}=1.$$

Таким образом, у нас есть факторизация:

$$x^2+3x-4=(x+4)(x-1)\mathrm{.}$$

Теперь определим, при каких значениях $x$ выражение под корнем больше или равно нулю. Для этого решим неравенство:

$$(x+4)(x-1)\ge 0.$$

Это неравенство выполняется, когда:

$$x\le -4\text{или}x\ge 1.$$

Таким образом, выражение под корнем имеет смысл при $x\in (-\mathrm{\infty },-4]\cup [1,+\mathrm{\infty })$.

Шаг 2: Обработка неравенства

Теперь займемся самим неравенством:

$$\frac{7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}}{x-3}<-1.$$

Умножим обе части на $x-3$, но нужно учесть, что знак неравенства может измениться в зависимости от знака $x-3$. Рассмотрим два случая:

Шаг 3: Рассмотрение случаев

Случай 1: $x>3$

Если $x>3$, то множитель $x-3>0$, и неравенство не меняет знак. Умножаем обе части на $x-3$:

$$7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}<-1\cdot (x-3),$$$$7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}<-x+3-7+3x,$$$$\sqrt{x^2+3x-4}<2x-4.$$

Теперь убираем корень, возведя обе части в квадрат:

$$x^2+3x-4<(2x-4{)}^2\mathrm{.}$$

Раскрываем квадрат:

$$x^2+3x-4<4x^2-16x+16.$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^2+3x-4-4x^2+16x-16<0,$$$$-3x^2+19x-20<0.$$

Умножим обе части на -1 (не забываем поменять знак неравенства):

$$3x^2-19x+20>0.$$

Решаем это неравенство через дискриминант. Найдем дискриминант:

$$D=(-19{)}^2-4\cdot 3\cdot 20=361-240=121.$$

Корни уравнения:

$$x_1=\frac{-(-19)-\sqrt{121}}{2\cdot 3}=\frac{19-11}{6}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3},$$$$x_2=\frac{-(-19)+\sqrt{121}}{2\cdot 3}=\frac{19+11}{6}=\frac{30}{6}=5.$$

Теперь решаем неравенство $3x^2-19x+20>0$. Оно выполняется при:

$$x<\frac{4}{3}\text{или}x>5.$$

Поскольку $x>3$, то для нас актуален только второй интервал:

$$x>5.$$

Случай 2: $x<3$

Если $x<3$, то множитель $x-3<0$, и знак неравенства меняется. Умножаем обе части на $x-3$, меняя знак:

$$7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}>-1\cdot (x-3),$$$$7-3x+\sqrt{x^2+3x-4}>-x+3-7+3x,$$$$\sqrt{x^2+3x-4}>2x-4.$$

Теперь рассмотрим правую часть. Чтобы она имела смысл, нужно, чтобы:

$$2x-4\ge 0\Rightarrow x\ge 2.$$

Если $2\le x<3$, то продолжаем решение:

$$x^2+3x-4>(2x-4{)}^2\mathrm{.}$$

Возводим правую часть в квадрат:

$$x^2+3x-4>4x^2-16x+16.$$

Переносим все в одну сторону:

$$x^2+3x-4-4x^2+16x-16<0,$$$$-3x^2+19x-20<0.$$

Решаем это неравенство:

$$(x-\frac{4}{3})(x-5)<0.$$

Это неравенство выполняется, когда:

$$\frac{4}{3}<x<5.$$

Таким образом, для $2\le x<3$, решение — это интервал:

$$\frac{4}{3}<x<5.$$

Случай 3: $x<2$

Для $x<2$ неравенство всегда выполняется, так как:

$$\sqrt{x^2+3x-4}>2x-4.$$

Шаг 4: Окончательное решение

Таким образом, окончательное решение:

$$x\in (-\mathrm{\infty },-4]\cup [1,3)\cup (5,+\mathrm{\infty })\mathrm{.}$$