ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1298 Алимов — Подробные Ответы

1)

$$\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\ctg \alpha + \ctg \beta} = (\tg \alpha + \tg \beta) : \left( \frac{1}{\tg \alpha} + \frac{1}{\tg \beta} \right) =$$ $$= (\tg \beta + \tg \alpha) : \frac{\tg \beta + \tg \alpha}{\tg \alpha \cdot \tg \beta} = (\tg \alpha + \tg \beta) \cdot \frac{\tg \alpha \cdot \tg \beta}{\tg \beta + \tg \alpha} = \tg \alpha \cdot \tg \beta;$$

Ответ: $\tg \alpha \cdot \tg \beta$.

2)

$$(\sin a + \cos a)^2 + (\sin a — \cos a)^2 =$$ $$= \sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a + \sin^2 a + \cos^2 a — 2 \sin a \cdot \cos a =$$ $$= 2 \sin^2 a + 2 \cos^2 a = 2 \cdot (\sin^2 a + \cos^2 a) = 2 \cdot 1 = 2;$$

Ответ: $2$.

3)

$$\frac{\sin \left( \frac{\pi}{4} + a \right) — \cos \left( \frac{\pi}{4} + a \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{4} + a \right) + \cos \left( \frac{\pi}{4} + a \right)} =$$ $$= \frac{\sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos a + \sin a \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos a — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin a \right)}{\sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos a + \sin a \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \left( \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos a — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin a \right)} =$$ $$= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a}{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a} = \frac{\sqrt{2} \sin a}{\sqrt{2} \cos a} = \tg a;$$

Ответ: $\tg a$.

4)

$$\frac{\sin a + 2 \sin \left( \frac{\pi}{3} — a \right)}{2 \cos \left( \frac{\pi}{6} — a \right) — \sqrt{3} \cos a} = \frac{\sin a + 2 \cdot \left( \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos a — \sin a \cdot \cos \frac{\pi}{3} \right)}{2 \cdot \left( \cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos a + \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin a \right) — \sqrt{3} \cos a} =$$ $$= \frac{\sin a + 2 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos a — \frac{1}{2} \sin a \right)}{2 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos a + \frac{1}{2} \sin a \right) — \sqrt{3} \cos a} = \frac{\sin a + \sqrt{3} \cos a — \sin a}{\sqrt{3} \cos a + \sin a — \sqrt{3} \cos a} =$$ $$= \frac{\sqrt{3} \cdot \cos a}{\sin a} = \sqrt{3} \ctg a;$$

Ответ: $\sqrt{3} \ctg a$.

1) Решение:

Задано выражение:

$$\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\ctg \alpha + \ctg \beta}$$

Шаг 1. Преобразуем знаменатель, используя свойство котангенса.

Известно, что:

$$\ctg \alpha = \frac{1}{\tg \alpha} \quad \text{и} \quad \ctg \beta = \frac{1}{\tg \beta}$$

Таким образом, выражение для знаменателя станет:

$$\ctg \alpha + \ctg \beta = \frac{1}{\tg \alpha} + \frac{1}{\tg \beta}$$

Шаг 2. Преобразуем дробь с двумя дробями в знаменателе. Для этого воспользуемся правилом для сложения дробей:

$$\frac{1}{\tg \alpha} + \frac{1}{\tg \beta} = \frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\tg \alpha \cdot \tg \beta}$$

Теперь выражение для исходной дроби будет:

$$\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\frac{\tg \alpha + \tg \beta}{\tg \alpha \cdot \tg \beta}}$$

Шаг 3. Упростим дробь, деление на дробь — это умножение на обратную дробь:

$$= (\tg \alpha + \tg \beta) \cdot \frac{\tg \alpha \cdot \tg \beta}{\tg \alpha + \tg \beta}$$

Шаг 4. Видим, что выражение $\tg \alpha + \tg \beta$ сокращается в числителе и знаменателе:

$$= \tg \alpha \cdot \tg \beta$$

Ответ: $\tg \alpha \cdot \tg \beta$.

2) Решение:

Задано выражение:

$$(\sin a + \cos a)^2 + (\sin a — \cos a)^2$$

Шаг 1. Раскроем скобки в каждом из квадратов:

$$(\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a$$ $$(\sin a — \cos a)^2 = \sin^2 a — 2 \sin a \cos a + \cos^2 a$$

Шаг 2. Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$$(\sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a) + (\sin^2 a — 2 \sin a \cos a + \cos^2 a)$$

Шаг 3. Соберем подобные члены:

$$= \sin^2 a + \cos^2 a + 2 \sin a \cos a + \sin^2 a + \cos^2 a — 2 \sin a \cos a$$

Шаг 4. Видим, что $2 \sin a \cos a$ и $-2 \sin a \cos a$ сокращаются:

$$= \sin^2 a + \cos^2 a + \sin^2 a + \cos^2 a$$

Шаг 5. Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 a + \cos^2 a = 1$:

$$= 2 (\sin^2 a + \cos^2 a) = 2 \cdot 1 = 2$$

Ответ: $2$.

3) Решение:

Задано выражение:

$$\frac{\sin \left( \frac{\pi}{4} + a \right) — \cos \left( \frac{\pi}{4} + a \right)}{\sin \left( \frac{\pi}{4} + a \right) + \cos \left( \frac{\pi}{4} + a \right)}$$

Шаг 1. Используем формулы для синуса и косинуса суммы:

$$\sin \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos a + \cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin a$$ $$\cos \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos a — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin a$$

Шаг 2. Подставим эти выражения в исходную дробь:

$$= \frac{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right) — \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right)}{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right) + \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a \right)}$$

Шаг 3. Упростим числитель и знаменатель.

В числителе:

$$= \frac{\frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a}{} = \frac{\sqrt{2} \sin a}{}$$

В знаменателе:

$$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a — \frac{\sqrt{2}}{2} \sin a = \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos a = \sqrt{2} \cos a$$

Шаг 4. Теперь получаем:

$$= \frac{\sqrt{2} \sin a}{\sqrt{2} \cos a} = \tg a$$

Ответ: $\tg a$.

4) Решение:

Задано выражение:

$$\frac{\sin a + 2 \sin \left( \frac{\pi}{3} — a \right)}{2 \cos \left( \frac{\pi}{6} — a \right) — \sqrt{3} \cos a}$$

Шаг 1. Применим формулы для синуса и косинуса разности углов.

Для синуса:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} — a \right) = \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos a — \cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin a$$

Для косинуса:

$$\cos \left( \frac{\pi}{6} — a \right) = \cos \frac{\pi}{6} \cdot \cos a + \sin \frac{\pi}{6} \cdot \sin a$$

Шаг 2. Подставим эти выражения в исходную дробь:

$$= \frac{\sin a + 2 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos a — \frac{1}{2} \sin a \right)}{2 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos a + \frac{1}{2} \sin a \right) — \sqrt{3} \cos a}$$

Шаг 3. Упростим числитель и знаменатель.

Числитель:

$$= \sin a + 2 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos a — \frac{1}{2} \sin a \right) = \sin a + \sqrt{3} \cos a — \sin a = \sqrt{3} \cos a$$

Знаменатель:

$$= 2 \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \cos a + \frac{1}{2} \sin a \right) — \sqrt{3} \cos a = \sqrt{3} \cos a + \sin a — \sqrt{3} \cos a = \sin a$$

Шаг 4. Теперь получаем:

$$= \frac{\sqrt{3} \cos a}{\sin a} = \sqrt{3} \ctg a$$

Ответ: $\sqrt{3} \ctg a$.