ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 507 Алимов — Подробные Ответы

1. sin2a/((sina+cosa)2 — 1);
2. (1+cos2a)/(1-cos2a).

1. $\frac{\sin 2a}{(\sin a+\cos a{)}^2-1}=\frac{\sin 2a}{{\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a+2\sin a\cdot \cos a-1}=\frac{\sin 2a}{1+\sin 2a-1}=\frac{\sin 2a}{\sin 2a}=1;$
2. $\frac{1+\cos 2a}{1-\cos 2a}=\frac{1+({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)}{1-({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)}=\frac{1-{\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a}{1-{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a}=\frac{{\cos }^{2}a+{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a+{\sin }^{2}a}=\frac{2{\cos }^{2}a}{2{\sin }^{2}a}={\left(\frac{\cos a}{\sin a}\right)}^2={\text{ctg}}^{2}a$

1) Вычислить

$$\frac{\sin 2a}{(\sin a+\cos a{)}^2-1}$$

Шаг 1: Раскрываем квадрат в знаменателе

$$(\sin a+\cos a{)}^2={\sin }^{2}a+2\sin a\cos a+{\cos }^{2}a\mathrm{.}$$

Шаг 2: Подставляем это в исходное выражение

Знаменатель становится:

$${\sin }^{2}a+2\sin a\cos a+{\cos }^{2}a-1.$$

Шаг 3: Используем основное тригонометрическое тождество

$${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1,$$

тогда:

$$1+2\sin a\cos a-1=2\sin a\cos a\mathrm{.}$$

Шаг 4: Итак, исходное выражение теперь равно

$$\frac{\sin 2a}{2\sin a\cos a}\mathrm{.}$$

Шаг 5: Используем формулу синуса двойного угла

$$\sin 2a=2\sin a\cos a,$$

следовательно,

$$\frac{\sin 2a}{2\sin a\cos a}=\frac{2\sin a\cos a}{2\sin a\cos a}=1.$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle 1}}\mathrm{.}$$

2) Вычислить

$$\frac{1+\cos 2a}{1-\cos 2a}$$

Шаг 1: Подставляем формулу косинуса двойного угла

$$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a\mathrm{.}$$

Тогда числитель и знаменатель будут:

$$1+({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a)\text{и}1-({\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a),$$

то есть

$$\frac{1+{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}{1-{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Группируем с помощью тригонометрического тождества

Напомним, что

$${\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a=1.$$

Тогда:

$$1+{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a)+{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=$$

$$={\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a+{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a,$$

и

$$1-{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a)-{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=$$

$$={\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a-{\cos }^{2}a+{\sin }^{2}a=2{\sin }^{2}a\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставляем обратно

$$\frac{2{\cos }^{2}a}{2{\sin }^{2}a}=\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}\mathrm{.}$$

Шаг 4: Представляем в виде котангенса

$$\frac{{\cos }^{2}a}{{\sin }^{2}a}={\left(\frac{\cos a}{\sin a}\right)}^2={\cot }^{2}a\mathrm{.}$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle {\cot }^{2}a}}\mathrm{.}$$