ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1546 Алимов — Подробные Ответы

Найти значения х, при которых значения производной функции f(x) = x3 — 1,5×2 — 18x + корень 3 отрицательны.

Дана функция:

$$f(x) = x^3 — 1,5x^2 — 18x + \sqrt{3};$$

Производная функции:

$$f'(x) = (x^3)’ — 1,5(x^2)’ — (18x — \sqrt{3})’;$$ $$f'(x) = 3x^2 — 1,5 \cdot 2x — 18 = 3x^2 — 3x — 18;$$

Производная равна нулю при:

$$3x^2 — 3x — 18 = 0;$$ $$x^2 — x — 6 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{1 — 5}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3;$$

Ответ: $x_1 = -2; \, x_2 = 3.$

Дана функция:

$$f(x) = x^3 — 1,5x^2 — 18x + \sqrt{3}.$$

Необходимо найти производную функции и решить уравнение для нахождения точек, в которых производная равна нулю.

1. Нахождение производной функции:

Мы будем дифференцировать каждый из членов функции по отдельности, используя стандартные правила дифференцирования.

Функция $f(x)$ состоит из следующих членов:

• $x^3$,
• $-1,5x^2$,
• $-18x$,
• $\sqrt{3}$ (константа).

Давайте поочередно дифференцируем каждый из этих членов.

1. Производная от $x^3$:
   По стандартному правилу дифференцирования степенной функции $(x^n)’ = nx^{n-1}$, производная от $x^3$ будет:

   $$(x^3)’ = 3x^2.$$

2. Производная от $-1,5x^2$:
   Производная от $x^2$ равна $2x$, поэтому:

   $$(-1,5x^2)’ = -1,5 \cdot 2x = -3x.$$

3. Производная от $-18x$:
   Производная от линейной функции $ax$ (где $a$ — константа) равна $a$, то есть:

   $$(-18x)’ = -18.$$

4. Производная от константы $\sqrt{3}$:
   Производная от константы всегда равна 0:

   $$(\sqrt{3})’ = 0.$$

Таким образом, производная функции $f(x)$ будет равна:

$$f'(x) = 3x^2 — 3x — 18.$$

2. Решение уравнения $f'(x) = 0$:

Теперь нам нужно найти значения $x$, при которых производная $f'(x) = 0$.

Запишем уравнение:

$$3x^2 — 3x — 18 = 0.$$

Для упрощения уравнения разделим обе части на 3:

$$x^2 — x — 6 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение.

3. Решение квадратного уравнения:

Для решения уравнения $x^2 — x — 6 = 0$ воспользуемся дискриминантным методом.

Вычисление дискриминанта:
Формула для дискриминанта:

$$D = b^2 — 4ac,$$

где $a = 1$, $b = -1$, $c = -6$.

Подставляем значения:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25.$$

Нахождение корней уравнения:
Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.$$

Подставляем значения:

$$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2}.$$

Получаем два корня:

$$x_1 = \frac{1 — 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3.$$

4. Ответ:

Значения $x$, при которых производная функции равна нулю:

$$x_1 = -2, \quad x_2 = 3.$$

Ответ:

$$\boxed{x_1 = -2, \quad x_2 = 3}.$$

Итоговое решение:

1. Производная функции $f'(x) = 3x^2 — 3x — 18$.
2. Точки, в которых производная равна нулю: $x_1 = -2, \quad x_2 = 3$.