ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 574 Алимов — Подробные Ответы

1. cos x cos Зх = sin Зх sin x;
2. cos 2x cos x + sin 2x sin x = 0.

$\cos x \cdot \cos 3x = \sin 3x \cdot \sin x$;

$\cos x \cdot \cos 3x — \sin 3x \cdot \sin x = 0$;

$\cos(x + 3x) = 0$;

$\cos 4x = 0$;

$4x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$;

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$.

$\cos 2x \cdot \cos x + \sin 2x \cdot \sin x = 0$;

$\cos(2x — x) = 0$;

$\cos x = 0$;

$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

1) Решить уравнение

$$\cos x \cdot \cos 3x = \sin 3x \cdot \sin x$$

Шаг 1: Перенос всех членов в одну часть уравнения

Запишем уравнение в виде:

$$\cos x \cdot \cos 3x — \sin 3x \cdot \sin x = 0$$

Шаг 2: Использование формулы косинуса суммы

Напомним одну из тригонометрических формул:

$$\cos A \cos B — \sin A \sin B = \cos (A + B)$$

В нашем случае $A = x$, $B = 3x$, значит:

$$\cos x \cos 3x — \sin 3x \sin x = \cos (x + 3x) = \cos 4x$$

Тогда уравнение принимает вид:

$$\cos 4x = 0$$

Шаг 3: Решение уравнения $\cos 4x = 0$

Косинус равен нулю при углах:

$$\cos \theta = 0 \iff \theta = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Здесь $\theta = 4x$, значит:

$$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 4: Выразим $x$

Разделим обе части на 4:

$$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Итог:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}}$$

2) Решить уравнение

$$\cos 2x \cdot \cos x + \sin 2x \cdot \sin x = 0$$

Шаг 1: Использование формулы косинуса разности

Вспомним формулу:

$$\cos A \cos B + \sin A \sin B = \cos (A — B)$$

Здесь $A = 2x$, $B = x$, значит:

$$\cos 2x \cdot \cos x + \sin 2x \cdot \sin x = \cos (2x — x) = \cos x$$

Таким образом, уравнение переписывается как:

$$\cos x = 0$$

Шаг 2: Решение уравнения $\cos x = 0$

Косинус равен нулю при:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Итог:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}$$