ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 694 Алимов — Подробные Ответы

1. у = корень(sin х+ 1);
2. у = корень(cosx — 1);
3. y = lg sinx;
4. у = корень(2 cos х- 1);
5. у = корень(1-2 sin х);
6. у = ln cos х.

$y = \sqrt{\sin x + 1}$;

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x + 1 \geq 0;$$ $$\sin x \geq -1 \quad \text{— при любом } x;$$

Ответ: $x \in \mathbb{R}$.

$y = \sqrt{\cos x — 1}$;

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x — 1 \geq 0;$$ $$\cos x \geq 1;$$ $$\cos x = 1;$$ $$x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n;$$

Ответ: $x = 2\pi n$.

$y = \lg \sin x$;

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x > 0;$$ $$\arcsin 0 + 2\pi n < x < \pi — \arcsin 0 + 2\pi n;$$

Ответ: $2\pi n < x < \pi + 2\pi n$.

$y = \sqrt{2 \cos x — 1}$;

Выражение имеет смысл при:

$$2 \cos x — 1 \geq 0;$$ $$2 \cos x \geq 1;$$ $$\cos x \geq \frac{1}{2};$$ $$-\arccos \frac{1}{2} + 2\pi n \leq x \leq \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

$y = \sqrt{1 — 2 \sin x}$;

Выражение имеет смысл при:

$$1 — 2 \sin x \geq 0;$$ $$-2 \sin x \geq -1;$$ $$\sin x \leq \frac{1}{2};$$ $$-\pi — \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n \leq x \leq \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n;$$ $$-\pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n$.

$y = \ln \cos x$;

Выражение имеет смысл при:

$$\cos x > 0;$$ $$-\arccos 0 + 2\pi n < x < \arccos 0 + 2\pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

1) $y = \sqrt{\sin x + 1}$

Шаг 1: Область определения корня квадратного — подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$\sin x + 1 \geq 0$$

Шаг 2: Вычитаем 1:

$$\sin x \geq -1$$

Шаг 3: Известно, что $\sin x$ всегда принимает значения от $-1$ до $1$:

$$-1 \leq \sin x \leq 1 \quad \forall x \in \mathbb{R}$$

Таким образом,

$$\sin x \geq -1 \quad \text{выполняется для всех } x$$

Итог:

Подкоренное выражение $\sin x + 1$ всегда неотрицательно, следовательно,

$$\boxed{x \in \mathbb{R}}$$

2) $y = \sqrt{\cos x — 1}$

Шаг 1: Область определения:

$$\cos x — 1 \geq 0$$

Шаг 2: Переносим:

$$\cos x \geq 1$$

Шаг 3: Значение косинуса колеблется между $-1$ и $1$, причём

$$\cos x = 1 \quad \text{только в точках} \quad x = 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4: Поскольку $\cos x$ не может быть больше 1, только в точках $x=2\pi n$ корень существует (равен нулю).

Итог:

$$\boxed{x = 2 \pi n}$$

3) $y = \lg \sin x$

Шаг 1: Логарифм определён только для положительных аргументов:

$$\sin x > 0$$

Шаг 2: Найдём промежутки, где $\sin x > 0$.

• Синус положителен на интервалах между нулями:

$$(0; \pi), (2\pi; 3\pi), (4\pi; 5\pi), \dots$$

• Общий вид интервалов положительности:

$$2 \pi n < x < \pi + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Итог:

$$\boxed{2\pi n < x < \pi + 2\pi n}$$

4) $y = \sqrt{2 \cos x — 1}$

Шаг 1: Корень определён, если

$$2 \cos x — 1 \geq 0$$

Шаг 2: Переносим:

$$2 \cos x \geq 1 \implies \cos x \geq \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Косинус равен $\frac{1}{2}$ в точках:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4: Косинус принимает значения больше или равные $\frac{1}{2}$ на промежутках:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Итог:

$$\boxed{-\frac{\pi}{3} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + 2\pi n}$$

5) $y = \sqrt{1 — 2 \sin x}$

Шаг 1: Область определения:

$$1 — 2 \sin x \geq 0$$

Шаг 2: Переносим:

$$-2 \sin x \geq -1 \implies \sin x \leq \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Значение $\sin x = \frac{1}{2}$ достигается в точках:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad x = \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 4: Поскольку синус — периодическая волна, $\sin x \leq \frac{1}{2}$ на промежутках:

$$-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$

(здесь используется периодичность и свойства графика синуса)

Итог:

$$\boxed{-\frac{7\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + 2\pi n}$$

6) $y = \ln \cos x$

Шаг 1: Логарифм определён при положительном аргументе:

$$\cos x > 0$$

Шаг 2: Косинус положителен в промежутках вокруг нуля с длиной $\pi$:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Итог:

$$\boxed{-\frac{\pi}{2} + 2\pi n < x < \frac{\pi}{2} + 2\pi n}$$