ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 603 Алимов — Подробные Ответы

1. sin(arcsin1/3+arccos 2корень2/3);
2. cos(arcsin3/5+arccos4/5).

1.

$$\sin (\arcsin \frac{1}{3}+\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})=$$$$=\sin (\arcsin \frac{1}{3})\cdot \cos (\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})+\sin (\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})\cdot \cos (\arcsin \frac{1}{3})=$$$$=\frac{1}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}+\sqrt{1-{\cos }^2(\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})}\cdot \sqrt{1-{\sin }^2(\arcsin \frac{1}{3})}=$$$$=\frac{2\sqrt{2}}{9}+\sqrt{1-{\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2}\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=$$$$=\frac{2\sqrt{2}}{9}+\sqrt{1-\frac{(2\sqrt{2}{)}^2}{9}}\cdot \sqrt{1-\frac{1^2}{9}}=$$$$=\frac{2\sqrt{2}}{9}+\sqrt{\frac{9-8}{9}}\cdot \sqrt{\frac{9-1}{9}}=$$$$=\frac{2\sqrt{2}}{9}+\sqrt{\frac{1}{9}}\cdot \sqrt{\frac{8}{9}}=$$$$=\frac{2\sqrt{2}}{9}+\frac{\sqrt{8}}{9}=\frac{2\sqrt{2}}{9}+\frac{2\sqrt{2}}{9}=\frac{4\sqrt{2}}{9}\mathrm{.}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{9}}}$.

2.

$$\cos (\arcsin \frac{3}{5}+\arccos \frac{4}{5})=$$$$=\cos (\arcsin \frac{3}{5})\cdot \cos (\arccos \frac{4}{5})-\sin (\arcsin \frac{3}{5})\cdot \sin (\arccos \frac{4}{5})=$$$$=\sqrt{1-{\sin }^2(\arcsin \frac{3}{5})}\cdot \frac{4}{5}-\frac{3}{5}\cdot \sqrt{1-{\cos }^2(\arccos \frac{4}{5})}=$$$$=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}\cdot \frac{4}{5}-\frac{3}{5}\cdot \sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=$$$$=\sqrt{\frac{25-9}{25}}\cdot \frac{4}{5}-\frac{3}{5}\cdot \sqrt{\frac{25-16}{25}}=$$$$=\sqrt{\frac{16}{25}}\cdot \frac{4}{5}-\frac{3}{5}\cdot \sqrt{\frac{9}{25}}=$$$$=\frac{4}{5}\cdot \frac{4}{5}-\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}\mathrm{.}$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle \frac{7}{25}}}$.

Пример 1:

$$\sin (\arcsin \frac{1}{3}+\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})$$

Шаг 1: Разбираемся с формулой суммы синусов

Для решения выражения, применим формулу для синуса суммы углов:

$$\sin (A+B)=\sin A\cdot \cos B+\cos A\cdot \sin B$$

В нашем случае:

$$A=\arcsin \frac{1}{3},B=\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3}$$

Подставляем в формулу:

$$\sin (\arcsin \frac{1}{3}+\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})=\sin (\arcsin \frac{1}{3})\cdot \cos (\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})+$$

$$+\cos (\arcsin \frac{1}{3})\cdot \sin (\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})$$

Шаг 2: Находим синусы и косинусы

1. $\sin (\arcsin \frac{1}{3})=\frac{1}{3}$, это напрямую из определения $\arcsin$.
2. $\cos (\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, это напрямую из определения $\arccos$.
3. Для нахождения $\cos (\arcsin \frac{1}{3})$ используем основное тригонометрическое тождество:$${\cos }^{2}A=1-{\sin }^{2}A$$

   Подставляем $\sin A=\frac{1}{3}$:

   $${\cos }^{2}A=1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$$

   Тогда:

   $$\cos A=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$

4. Для нахождения $\sin (\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})$ снова используем основное тригонометрическое тождество:$${\sin }^{2}B=1-{\cos }^{2}B$$

   Подставляем $\cos B=\frac{2\sqrt{2}}{3}$:

   $${\sin }^{2}B=1-{\left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)}^2=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}$$

   Тогда:

   $$\sin B=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}$$

Шаг 3: Подставляем все найденные значения в формулу

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$$\sin (\arcsin \frac{1}{3}+\arccos \frac{2\sqrt{2}}{3})=\frac{1}{3}\cdot \frac{2\sqrt{2}}{3}+\frac{2\sqrt{2}}{3}\cdot \frac{1}{3}$$

Упростим выражение:

$$=\frac{2\sqrt{2}}{9}+\frac{2\sqrt{2}}{9}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{9}}}$$

Пример 2:

$$\cos (\arcsin \frac{3}{5}+\arccos \frac{4}{5})$$

Шаг 1: Разбираемся с формулой суммы косинусов

Для решения выражения, применим формулу для косинуса суммы углов:

$$\cos (A+B)=\cos A\cdot \cos B-\sin A\cdot \sin B$$

В нашем случае:

$$A=\arcsin \frac{3}{5},B=\arccos \frac{4}{5}$$

Подставляем в формулу:

$$\cos (\arcsin \frac{3}{5}+\arccos \frac{4}{5})=\cos (\arcsin \frac{3}{5})\cdot \cos (\arccos \frac{4}{5})-\sin (\arcsin \frac{3}{5})\cdot \sin (\arccos \frac{4}{5})$$

Шаг 2: Находим синусы и косинусы

1. $\cos (\arcsin \frac{3}{5})$: используем основное тригонометрическое тождество:$${\cos }^{2}A=1-{\sin }^{2}A$$

   Подставляем $\sin A=\frac{3}{5}$:

   $${\cos }^{2}A=1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$$

   Тогда:

   $$\cos A=\frac{4}{5}$$

2. $\cos (\arccos \frac{4}{5})=\frac{4}{5}$, это напрямую из определения $\arccos$.
3. $\sin (\arcsin \frac{3}{5})=\frac{3}{5}$, это напрямую из определения $\arcsin$.
4. $\sin (\arccos \frac{4}{5})$: используем основное тригонометрическое тождество:$${\sin }^{2}B=1-{\cos }^{2}B$$

   Подставляем $\cos B=\frac{4}{5}$:

   $${\sin }^{2}B=1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$$

   Тогда:

   $$\sin B=\frac{3}{5}$$

Шаг 3: Подставляем все найденные значения в формулу

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$$\cos (\arcsin \frac{3}{5}+\arccos \frac{4}{5})=\frac{4}{5}\cdot \frac{4}{5}-\frac{3}{5}\cdot \frac{3}{5}$$

Упростим выражение:

$$=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{7}{25}}}$$