ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 737 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку (-пи; 2пи):

1. tgx > = 1;
2. tg х < корень 3/3;
3. tg x < -1;
4. tgx > = — корень 3.

Требуется найти решения неравенства на промежутке $(-π; 2π)$:

$\operatorname{tg} x \geq 1$;

$$\arctg 1 + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn;$$ $$\frac{π}{4} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn;$$

Значения на искомом отрезке:

$$-\frac{3π}{4} \leq x_1 < -\frac{π}{2};$$ $$\frac{π}{4} \leq x_2 < \frac{π}{2};$$ $$\frac{5π}{4} \leq x_3 < \frac{3π}{2};$$

$\operatorname{tg} x < \frac{\sqrt{3}}{3}$;

$$-\frac{π}{2} + πn < x < \arctg \frac{\sqrt{3}}{3} + πn;$$ $$-\frac{π}{2} + πn < x < \frac{π}{6} + πn;$$

Значения на искомом отрезке:

$$-π < x_1 < -\frac{5π}{6};$$ $$-\frac{π}{2} < x_2 < \frac{π}{6};$$ $$\frac{π}{2} < x_3 < \frac{7π}{6};$$ $$\frac{3π}{2} < x_4 < 2π;$$

$\operatorname{tg} x < -1$;

$$-\frac{π}{2} + πn < x < \arctg(-1) + πn;$$ $$-\frac{π}{2} + πn < x < -\arctg 1 + πn;$$ $$-\frac{π}{2} + πn < x < -\frac{π}{4} + πn;$$

Значения на искомом отрезке:

$$-\frac{π}{2} < x_1 < -\frac{π}{4};$$ $$\frac{π}{2} < x_2 < \frac{3π}{4};$$ $$\frac{3π}{2} < x_3 < \frac{7π}{4};$$

$\operatorname{tg} x \geq -\sqrt{3}$;

$$\arctg(-\sqrt{3}) + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn;$$ $$-\arctg \sqrt{3} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn;$$ $$-\frac{π}{3} + πn \leq x < \frac{π}{2} + πn;$$

Значения на искомом отрезке:

$$-π < x_1 < -\frac{π}{2};$$ $$-\frac{π}{3} \leq x_2 < \frac{π}{2};$$ $$\frac{2π}{3} \leq x_3 < \frac{3π}{2};$$ $$\frac{5π}{3} \leq x_4 < 2π;$$

Найти решения неравенств на промежутке $(-π; 2π)$:

Важные сведения и напоминания

Функция $\tg x$ имеет период $π$:

$$\tg(x + π) = \tg x$$

Область определения: $x \neq \frac{\pi}{2} + πn$, где $n \in \mathbb{Z}$ (функция не определена в точках $\frac{\pi}{2} + πn$, где вертикальные асимптоты).

Арктангенс — обратная функция:

$$\arctg y = x, \quad \text{если} \quad y = \tg x, \quad x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$$

1) Решение неравенства:

$$\tg x \geq 1$$

Шаг 1: Найдём главное решение $\arctg 1$

$$\arctg 1 = \frac{\pi}{4}$$

(потому что $\tg \frac{\pi}{4} = 1$)

Шаг 2: Анализ вида решений $\tg x \geq 1$

Тангенс на промежутке между асимптотами растёт от $-\infty$ до $+\infty$ на каждом периоде длины $\pi$.

На промежутке между асимптотами:

$$\left(\frac{\pi}{2} + π(n — 1), \frac{\pi}{2} + πn \right)$$

функция монотонно возрастает.

Шаг 3: Интервал решения

Для фиксированного $n \in \mathbb{Z}$ решение неравенства

$$\tg x \geq 1$$

лежит в интервале

$$\left[\arctg 1 + πn, \frac{\pi}{2} + πn \right)$$

то есть:

$$\frac{\pi}{4} + πn \leq x < \frac{\pi}{2} + πn$$

Шаг 4: Найдём все $n$, для которых этот интервал пересекается с заданным отрезком $(-π; 2π)$

Нужно найти все $n$, для которых

$$\left[\frac{\pi}{4} + πn, \frac{\pi}{2} + πn\right) \cap (-π; 2π) \neq \emptyset$$

Шаг 5: Найдём границы интервала для $n$

• Левая граница интервала:

$$x_l = \frac{\pi}{4} + πn$$

• Правая граница интервала:

$$x_r = \frac{\pi}{2} + πn$$

Шаг 6: Ограничения для $n$:

Чтобы левая граница была меньше $2\pi$:

$$\frac{\pi}{4} + πn < 2\pi \implies πn < 2\pi — \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4} \implies n < \frac{7}{4} = 1.75$$

Чтобы правая граница была больше $-\pi$:

$$\frac{\pi}{2} + πn > -\pi \implies πn > -\pi — \frac{\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} \implies n > -\frac{3}{2} = -1.5$$

Шаг 7: Целые $n$, удовлетворяющие этим условиям:

$$-1.5 < n < 1.75 \implies n = -1, 0, 1$$

Шаг 8: Запишем интервалы для этих $n$:

• Для $n = -1$:

$$\frac{\pi}{4} — π = \frac{\pi}{4} — \frac{4\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4} \leq x < \frac{\pi}{2} — π = \frac{2\pi}{4} — \frac{4\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$$

• Для $n = 0$:

$$\frac{\pi}{4} \leq x < \frac{\pi}{2}$$

• Для $n = 1$:

$$\frac{\pi}{4} + π = \frac{\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \leq x < \frac{\pi}{2} + π = \frac{2\pi}{4} + \frac{4\pi}{4} = \frac{3\pi}{2}$$

Итог для пункта 1:

$$-\frac{3\pi}{4} \leq x < -\frac{\pi}{2}; \quad \frac{\pi}{4} \leq x < \frac{\pi}{2}; \quad \frac{5\pi}{4} \leq x < \frac{3\pi}{2}$$

2) Решение неравенства:

$$\tg x < \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Шаг 1: Найдём $\arctg \frac{\sqrt{3}}{3}$

$$\arctg \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\pi}{6}$$

(потому что $\tg \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$)

Шаг 2: Анализ интервалов решения

Функция $\tg x$ на промежутке между асимптотами

$$\left(\frac{\pi}{2} + π(n-1), \frac{\pi}{2} + πn\right)$$

монотонно растёт от $-\infty$ до $+\infty$.

Решение неравенства $\tg x < \frac{\sqrt{3}}{3}$ — это интервал

$$\left( -\frac{\pi}{2} + πn, \arctg \frac{\sqrt{3}}{3} + πn \right) = \left( -\frac{\pi}{2} + πn, \frac{\pi}{6} + πn \right)$$

Шаг 3: Найдём $n$, для которых интервал пересекается с $(-\pi; 2\pi)$

• Левая граница:

$$x_l = -\frac{\pi}{2} + πn$$

• Правая граница:

$$x_r = \frac{\pi}{6} + πn$$

Шаг 4: Ограничения:

• Левая граница $x_l > -\pi$:

$$-\frac{\pi}{2} + πn > -\pi \implies πn > -\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} \implies n > -\frac{1}{2}$$

• Правая граница $x_r < 2\pi$:

$$\frac{\pi}{6} + πn < 2\pi \implies πn < 2\pi — \frac{\pi}{6} = \frac{12\pi}{6} — \frac{\pi}{6} = \frac{11\pi}{6} \implies n < \frac{11}{6} \approx 1.83$$

Шаг 5: Целые $n$:

$$-0.5 < n < 1.83 \implies n = 0, 1$$

Но проверим границы дополнительно — есть ли решение для $n = -1$?

• При $n = -1$:

Левая граница:

$$-\frac{\pi}{2} — \pi = -\frac{\pi}{2} — \frac{2\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2} < -\pi$$

Но промежуток $(-\pi; 2\pi)$ начинается с $-\pi$, и левая граница вне отрезка.

Правая граница:

$$\frac{\pi}{6} — \pi = \frac{\pi}{6} — \frac{6\pi}{6} = -\frac{5\pi}{6}$$

Итак, для $n = -1$ интервал:

$$\left(-\frac{3\pi}{2}, -\frac{5\pi}{6} \right)$$

На пересечение с $(-\pi; 2\pi)$ часть этого интервала:

$$(-\pi, -\frac{5\pi}{6})$$

Так что $n = -1$ тоже даёт решение.

Шаг 6: Итог по $n$:

$$n = -1, 0, 1, 2$$

Проверим $n=2$:

• Левая граница:

$$-\frac{\pi}{2} + 2\pi = -\frac{\pi}{2} + \frac{4\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} < 2\pi$$

• Правая граница:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{\pi}{6} + \frac{12\pi}{6} = \frac{13\pi}{6} > 2\pi$$

Но точка $2\pi \approx 6.283$, а $\frac{13\pi}{6} \approx 6.81$, интервал начинается до $2\pi$, так часть интервала входит в $(-\pi; 2\pi)$.

Шаг 7: Запишем интервалы для найденных $n$:

• $n = -1$:

$$-\pi < x < -\frac{5\pi}{6}$$

• $n = 0$:

$$-\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{6}$$

• $n = 1$:

$$\frac{\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{6}$$

(потому что $\frac{\pi}{6} + \pi = \frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$)

• $n = 2$:

$$\frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$$

3) Решение неравенства:

$$\tg x < -1$$

Шаг 1: Найдём $\arctg(-1)$

$$\arctg(-1) = -\frac{\pi}{4}$$

Шаг 2: Интервал решения

Рассмотрим общий вид:

$$\tg x < a, \quad a < 0$$

Для тангенса на промежутке между асимптотами

$$\left(\frac{\pi}{2} + π(n — 1), \frac{\pi}{2} + πn \right)$$

функция растёт.

Решение $\tg x < -1$ будет

$$\left(-\frac{\pi}{2} + πn, \arctg(-1) + πn \right) = \left(-\frac{\pi}{2} + πn, -\frac{\pi}{4} + πn\right)$$

Шаг 3: Найдём $n$ для пересечения с $(-π; 2π)$

Левая граница:

$$-\frac{\pi}{2} + πn$$

Правая граница:

$$-\frac{\pi}{4} + πn$$

Шаг 4: Ограничения

• Левая граница $> -\pi$:

$$-\frac{\pi}{2} + πn > -\pi \implies πn > -\pi + \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} \implies n > -\frac{1}{2}$$

• Правая граница $< 2\pi$:

$$-\frac{\pi}{4} + πn < 2\pi \implies πn < 2\pi + \frac{\pi}{4} = \frac{9\pi}{4} \implies n < \frac{9}{4} = 2.25$$

Шаг 5: Целые $n$:

$$-0.5 < n < 2.25 \implies n = 0, 1, 2$$

Шаг 6: Запишем интервалы

• $n = 0$:

$$-\frac{\pi}{2} < x < -\frac{\pi}{4}$$

• $n = 1$:

$$\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{4}$$

• $n = 2$:

$$\frac{3\pi}{2} < x < \frac{7\pi}{4}$$

4) Решение неравенства:

$$\tg x \geq -\sqrt{3}$$

Шаг 1: Найдём $\arctg(-\sqrt{3})$

$$\arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$$

Шаг 2: Интервал решения

Решение

$$\tg x \geq -\sqrt{3}$$

соответствует интервалу

$$\left[\arctg(-\sqrt{3}) + πn, \frac{\pi}{2} + πn \right) = \left[-\frac{\pi}{3} + πn, \frac{\pi}{2} + πn \right)$$

Шаг 3: Найдём $n$, при которых этот интервал пересекается с $(-\pi; 2\pi)$

Левая граница:

$$-\frac{\pi}{3} + πn$$

Правая граница:

$$\frac{\pi}{2} + πn$$

Шаг 4: Ограничения

• Левая граница $> -\pi$:

$$-\frac{\pi}{3} + πn > -\pi \implies πn > -\pi + \frac{\pi}{3} = -\frac{2\pi}{3} \implies n > -\frac{2}{3}$$

• Правая граница $< 2\pi$:

$$\frac{\pi}{2} + πn < 2\pi \implies πn < 2\pi — \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} \implies n < \frac{3}{2} = 1.5$$

Шаг 5: Целые $n$:

$$-\frac{2}{3} < n < 1.5 \implies n = 0, 1$$

Проверим также $n = -1$:

• Левая граница для $n = -1$:

$$-\frac{\pi}{3} — π = -\frac{\pi}{3} — \frac{3\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} < -\pi$$

Но часть интервала может заходить в область:

Правая граница при $n = -1$:

$$\frac{\pi}{2} — π = \frac{\pi}{2} — \frac{3\pi}{2} = -\pi$$

Так что для $n = -1$ интервал:

$$[-\frac{4\pi}{3}, -\pi)$$

Пересечение с $(- \pi, 2\pi)$:

$$(-\pi, -\pi) \text{ — пустое множество}$$

Значит $n = -1$ не входит.

Шаг 6: Запишем интервалы для $n = 0, 1$:

• $n = 0$:

$$-\frac{\pi}{3} \leq x < \frac{\pi}{2}$$

• $n = 1$:

$$\left(-\frac{\pi}{3} + π\right) \leq x < \left(\frac{\pi}{2} + π\right)$$ $$\frac{2\pi}{3} \leq x < \frac{3\pi}{2}$$

Шаг 7: Проверка интервала $n=2$:

• Левая граница:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi = -\frac{\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$$

• Правая граница:

$$\frac{\pi}{2} + 2\pi = \frac{\pi}{2} + \frac{12\pi}{6} = \frac{3\pi}{2} + 2\pi \text{ (превышает } 2\pi)$$

Промежуток пересекает отрезок $(-π; 2π)$ с частью

$$\left[\frac{5\pi}{3}, 2\pi \right)$$