ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 189 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство (189-190).

1. корень (x+1) < x-1;
2. корень (1-x) > x+1;
3. корень (3x-2) > x-2;
4. корень (2x+1) < = x+1.

1) $\sqrt{x + 1} < x — 1$;

$$x + 1 < (x — 1)^2;$$

$$x + 1 < x^2 — 2x + 1;$$

$$x^2 — 3x > 0;$$

$$x(x — 3) > 0;$$

$$x < 0 \quad \text{и} \quad x > 3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x + 1 \geq 0;$$

$$x \geq -1;$$

Неравенство имеет решения при:

$$x — 1 \geq 0;$$

$$x \geq 1;$$

Ответ: $x > 3.$

2) $\sqrt{1 — x} > x + 1$;

$$1 — x > (x + 1)^2;$$

$$1 — x > x^2 + 2x + 1;$$

$$x^2 + 3x < 0;$$

$$(x + 3)x < 0;$$

$$-3 < x < 0;$$

Выражение имеет смысл при:

$$1 — x \geq 0;$$

$$x \leq 1;$$

Неравенство всегда верно при:

$$x + 1 \leq 0;$$

$$x \leq -1;$$

Ответ: $x < 0.$

3) $\sqrt{3x — 2} > x — 2$;

$$3x — 2 > (x — 2)^2;$$

$$3x — 2 > x^2 — 4x + 4;$$

$$x^2 — 7x + 6 < 0;$$

$$D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25;$$

тогда:

$$x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6;$$

$$(x — 1)(x — 6) < 0;$$

$$1 < x < 6;$$

Выражение имеет смысл при:

$$3x — 2 \geq 0;$$

$$3x \geq 2;$$

$$x \geq \frac{2}{3};$$

Неравенство всегда верно при:

$$x — 2 \leq 0;$$

$$x \leq 2;$$

Ответ: $\frac{2}{3} \leq x < 6.$

4) $\sqrt{2x + 1} \leq x + 1$;

$$2x + 1 \leq (x + 1)^2;$$

$$2x + 1 \leq x^2 + 2x + 1;$$

$$x^2 \geq 0 \quad \text{(при любом } x);$$

Выражение имеет смысл при:

$$2x + 1 \geq 0;$$

$$2x \geq -1;$$

$$x \geq -0.5;$$

Ответ: $x \geq -0.5.$

1) $\sqrt{x + 1} < x — 1$

Шаг 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Так как у нас есть корень квадратный, подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$x + 1 \geq 0$$

$$x \geq -1$$

Также правая часть неравенства $x — 1$ должна быть неотрицательной, иначе сравнение с корнем невозможно:

$$x — 1 \geq 0$$

$$x \geq 1$$

Итак, совместное условие:

$$x \geq 1$$

Шаг 2. Возведение обеих частей в квадрат

$$\sqrt{x + 1} < x — 1$$

Так как обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

$$x + 1 < (x — 1)^2$$

$$x + 1 < x^2 — 2x + 1$$

$$x + 1 — x^2 + 2x — 1 < 0$$

$$-x^2 + 3x < 0$$

$$x^2 — 3x > 0$$

Разложим на множители:

$$x(x — 3) > 0$$

Шаг 3. Решение неравенства $x(x — 3) > 0$

Рассматриваем знаки множителей:

$x(x — 3) > 0$ выполняется, если оба множителя положительны ($x > 3$) или оба отрицательны ($x < 0$).

Но по ОДЗ $x\ge 1$, поэтому $x < 0$ исключается.

Ответ:$$x > 3$$

2) $\sqrt{1 — x} > x + 1$

Шаг 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$1 — x \geq 0$$

$$x \leq 1$$

Также правая часть неравенства должна быть неположительной:

$$x + 1 \leq 0$$

$$x \leq -1$$

Совместим эти условия:

$$x \leq -1$$

Шаг 2. Возведение обеих частей в квадрат

$$1 — x > (x + 1)^2$$

$$1 — x > x^2 + 2x + 1$$

$$1 — x — x^2 — 2x — 1 > 0$$

$$-x^2 — 3x > 0$$

$$x^2 + 3x < 0$$

Разложим на множители:

$$x(x + 3) < 0$$

Шаг 3. Решение неравенства $x(x + 3) < 0$

Знаки множителей:

$x(x + 3) < 0$ выполняется при $-3 < x < 0$.

Совместим с ОДЗ ($x \leq -1$):

$$x < 0$$

Ответ:$$x < 0$$

3) $\sqrt{3x — 2} > x — 2$

Шаг 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$3x — 2 \geq 0$$

$$3x \geq 2$$

$$x \geq \frac{2}{3}$$

Правая часть неравенства должна быть неположительной:

$$x — 2 \leq 0$$

$$x \leq 2$$

Совместим условия:

$$\frac{2}{3} \leq x \leq 2$$

Шаг 2. Возведение в квадрат

$$3x — 2 > (x — 2)^2$$

$$3x — 2 > x^2 — 4x + 4$$

$$3x — 2 — x^2 + 4x — 4 > 0$$

$$-x^2 + 7x — 6 > 0$$

$$x^2 — 7x + 6 < 0$$

Шаг 3. Решение квадратного неравенства

Решим квадратное уравнение:

$$x^2 — 7x + 6 = 0$$

Найдём корни:

$$D = 7^2 — 4 \cdot 6 = 49 — 24 = 25$$

$$x_1 = \frac{7 — 5}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{7 + 5}{2} = 6$$

$$(x — 1)(x — 6) < 0$$

Значит, $1 < x < 6$. Совместим с ОДЗ ($\frac{2}{3} \leq x \leq 2$):

$$\frac{2}{3} \leq x < 6$$

Ответ:$$\frac{2}{3} \leq x < 6$$

4) $\sqrt{2x + 1} \leq x + 1$

Шаг 1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

$$2x + 1 \geq 0$$

$$2x \geq -1$$

$$x \geq -0.5$$

Шаг 2. Возведение в квадрат

$$2x + 1 \leq (x + 1)^2$$

$$2x + 1 \leq x^2 + 2x + 1$$

$$2x + 1 — x^2 — 2x — 1 \leq 0$$

$$-x^2 \leq 0$$

$$x^2 \geq 0$$

Шаг 3. Анализ решения

$x^2 \geq 0$ всегда верно для любого $x$, значит, ограничение только ОДЗ:

$$x \geq -0.5$$

Ответ:$$x \geq -0.5$$