ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 24 Алимов — Подробные Ответы

1. lim n- > бесконечность (3-2n)/2/n;
2. lim n- > бесконечность (3(n+2) +2)/ 3n.
3. lim n- > бесконечность (5(n) + 1)2/5(2n)

Число вида $x^n$, где $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$, при увеличении числа $n$ бесконечно уменьшается, поэтому в данном случае ${\lim }_{n\to \mathrm{\infty }}{x}^n=0$;

1)

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3-2^n}{2^n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(\frac{3}{2^n}-1)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1)=3\cdot 0-1=-1;$$

Ответ: $-1$.

2)

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3^{n+2}+2}{3^n}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(3^2+\frac{2}{3^n})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(9+2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n)=9+2\cdot 0=9;$$

Ответ: $9$.

3)

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(5^n+1{)}^2}{5^{2n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{5^{2n}+2\cdot 5^n+1}{5^{2n}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+\frac{2}{5^n}+\frac{1}{5^{2n}})=$$$$=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+2\cdot {\left(\frac{1}{5}\right)}^n+{\left(\frac{1}{5}\right)}^{2n})=1+2\cdot 0+0=1;$$

Ответ: $1$.

Число вида $x^n$, где $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1$, при $n\to \mathrm{\infty }$ стремится к нулю:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^n=0,\text{если }\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }<1.$$

Задача 1

Найти предел:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3-2^n}{2^n}$$

Шаг 1: Разделим числитель на знаменатель по членам:

$$\frac{3-2^n}{2^n}=\frac{3}{2^n}-\frac{2^n}{2^n}$$

Шаг 2: Упростим:

$$=\frac{3}{2^n}-1$$

Шаг 3: Заметим, что $\frac{3}{2^n}=3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n$

Так как ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n\to 0$, то:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3}{2^n}=0$$

Шаг 4: Получаем:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(3\cdot {\left(\frac{1}{2}\right)}^n-1)=0-1=-1$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle -1}}$

Задача 2

Найти предел:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{3^{n+2}+2}{3^n}$$

Шаг 1: Распишем $3^{n+2}$ как $3^n\cdot 3^2=9\cdot 3^n$

Подставим:

$$=\frac{9\cdot 3^n+2}{3^n}$$

Шаг 2: Разделим дробь на два слагаемых:

$$=\frac{9\cdot 3^n}{3^n}+\frac{2}{3^n}$$

Шаг 3: Упростим:

$$=9+\frac{2}{3^n}=9+2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n$$

Шаг 4: Так как ${\left(\frac{1}{3}\right)}^n\to 0$, то:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(9+2\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^n)=9+0=9$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 9}}$

Задача 3

Найти предел:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{(5^n+1{)}^2}{5^{2n}}$$

Шаг 1: Раскроем квадрат числителя по формуле:

$$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$$

Получаем:

$$(5^n+1{)}^2=5^{2n}+2\cdot 5^n+1$$

Шаг 2: Подставим в предел:

$$\frac{5^{2n}+2\cdot 5^n+1}{5^{2n}}$$

Шаг 3: Разделим каждое слагаемое в числителе на $5^{2n}$:

$$=\frac{5^{2n}}{5^{2n}}+\frac{2\cdot 5^n}{5^{2n}}+\frac{1}{5^{2n}}$$

Шаг 4: Упростим:

$$=1+\frac{2}{5^n}+\frac{1}{5^{2n}}$$

Шаг 5: Так как ${\left(\frac{1}{5}\right)}^n\to 0$ и ${\left(\frac{1}{5}\right)}^{2n}\to 0$, то:

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }(1+2\cdot {\left(\frac{1}{5}\right)}^n+{\left(\frac{1}{5}\right)}^{2n})=1+0+0=1$$

Ответ: $\boxed{{\displaystyle 1}}$