ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 575 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, имеет ли смысл выражение:

1. arccos((корень 6) — 3);
2. arccos((корень 7) — 2);
3. arccos(2 — (корень 10));
4. arccos(1-(корень 5));
5. tg(3arccos1/2).

Арккосинус определен на отрезке $[-1; 1]$;

$\arccos(\sqrt{6} — 3)$;

$4 < 6 < 9$;

$2 < \sqrt{6} < 3$;

$-1 < \sqrt{6} — 3 < 0$;

Ответ: да.

$\arccos(\sqrt{7} — 2)$;

$4 < 7 < 9$;

$2 < \sqrt{7} < 3$;

$0 < \sqrt{7} — 2 < 1$;

Ответ: да.

$\arccos(2 — \sqrt{10})$;

$9 < 10 < 16$;

$3 < \sqrt{10} < 4$;

$-2 < 2 — \sqrt{10} < -1$;

Ответ: нет.

$\arccos(1 — \sqrt{5})$;

$4 < 5 < 9$;

$2 < \sqrt{5} < 3$;

$-3 < -\sqrt{5} < -2$;

$-2 < 1 — \sqrt{5} < -1$;

Ответ: нет.

$\tg\left(3 \arccos \frac{1}{2}\right) = \tg\left(3 \cdot \frac{\pi}{3}\right) = \tg \pi = 0$;

Ответ: да.

Введение

Арккосинус — обратная функция к косинусу, определена только на отрезке $[-1; 1]$. Это значит, что для любого значения $y$ вне этого отрезка выражение $\arccos y$ не определено в действительных числах.

1) Проверить определённость $\arccos(\sqrt{6} — 3)$

Шаг 1: Найдём значение выражения под арккосинусом

$$\sqrt{6} — 3$$

Шаг 2: Оценим $\sqrt{6}$

Известно, что

$$4 < 6 < 9 \implies 2 < \sqrt{6} < 3$$

Шаг 3: Найдём диапазон для $\sqrt{6} — 3$

Поскольку $2 < \sqrt{6} < 3$, вычитаем 3:

$$2 — 3 < \sqrt{6} — 3 < 3 — 3 \implies -1 < \sqrt{6} — 3 < 0$$

Шаг 4: Проверяем попадание в область определения арккосинуса

$$-1 < \sqrt{6} — 3 < 0$$

Это значение принадлежит промежутку $[-1;1]$.

Вывод:

$$\arccos(\sqrt{6} — 3) \text{ определён.}$$

2) Проверить определённость $\arccos(\sqrt{7} — 2)$

Шаг 1: Найдём значение выражения под арккосинусом

$$\sqrt{7} — 2$$

Шаг 2: Оценим $\sqrt{7}$

Поскольку

$$4 < 7 < 9 \implies 2 < \sqrt{7} < 3$$

Шаг 3: Найдём диапазон для $\sqrt{7} — 2$

Вычитая 2:

$$2 — 2 < \sqrt{7} — 2 < 3 — 2 \implies 0 < \sqrt{7} — 2 < 1$$

Шаг 4: Проверяем попадание в область определения арккосинуса

$$0 < \sqrt{7} — 2 < 1$$

Значение входит в $[-1; 1]$.

Вывод:

$$\arccos(\sqrt{7} — 2) \text{ определён.}$$

3) Проверить определённость $\arccos(2 — \sqrt{10})$

Шаг 1: Вычислим значение под арккосинусом:

$$2 — \sqrt{10}$$

Шаг 2: Оценим $\sqrt{10}$

Известно:

$$9 < 10 < 16 \implies 3 < \sqrt{10} < 4$$

Шаг 3: Найдём диапазон для $2 — \sqrt{10}$

Вычитая:

$$2 — 4 < 2 — \sqrt{10} < 2 — 3 \implies -2 < 2 — \sqrt{10} < -1$$

Шаг 4: Проверяем область определения

Значения $-2$ и $-1$ выходят за пределы области определения арккосинуса $[-1; 1]$. Конкретно:

$$2 — \sqrt{10} < -1$$

Значит $\arccos(2 — \sqrt{10})$ не определён.

4) Проверить определённость $\arccos(1 — \sqrt{5})$

Шаг 1: Значение под арккосинусом:

$$1 — \sqrt{5}$$

Шаг 2: Оценим $\sqrt{5}$

Поскольку

$$4 < 5 < 9 \implies 2 < \sqrt{5} < 3$$

Шаг 3: Найдём диапазон для $1 — \sqrt{5}$

Вычитая:

$$1 — 3 < 1 — \sqrt{5} < 1 — 2 \implies -2 < 1 — \sqrt{5} < -1$$

Шаг 4: Проверка области определения

Значение $1 — \sqrt{5}$ лежит вне $[-1; 1]$, так как

$$1 — \sqrt{5} < -1$$

Следовательно,

$$\arccos(1 — \sqrt{5}) \text{ не определён.}$$

5) Найти значение

$$\tg\left(3 \arccos \frac{1}{2}\right)$$

Шаг 1: Найдём $\arccos \frac{1}{2}$

Известно, что

$$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$$

Следовательно,

$$\arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$$

Шаг 2: Подставим в выражение

$$\tg \left(3 \cdot \frac{\pi}{3} \right) = \tg \pi$$

Шаг 3: Найдём значение тангенса

$$\tg \pi = 0$$

Вывод:

$$\tg\left(3 \arccos \frac{1}{2}\right) = 0$$