ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 564 Алимов — Подробные Ответы

(sina + sin3a+sin5a)/(cos+cos3a + cos5a) =tg3a.

$$\frac{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}{\cos a + \cos 3a + \cos 5a} = \operatorname{tg} 3a;$$ $$\frac{2 \cdot \sin \frac{a + 5a}{2} \cdot \cos \frac{a — 5a}{2} + \sin 3a}{2 \cdot \cos \frac{a + 5a}{2} \cdot \cos \frac{a — 5a}{2} + \cos 3a};$$ $$\frac{2 \cdot \sin \frac{6a}{2} \cdot \cos \left( -\frac{4a}{2} \right) + \sin 3a}{2 \cdot \cos \frac{6a}{2} \cdot \cos \left( -\frac{4a}{2} \right) + \cos 3a};$$ $$\frac{2 \cdot \sin 3a \cdot \cos 2a + \sin 3a}{2 \cdot \cos 3a \cdot \cos 2a + \cos 3a};$$ $$\frac{\sin 3a \cdot (2 \cos 2a + 1)}{\cos 3a \cdot (2 \cos 2a + 1)} = \operatorname{tg} 3a;$$ $$\frac{\sin 3a}{\cos 3a} = \operatorname{tg} 3a;$$ $$\operatorname{tg} 3a = \operatorname{tg} 3a.$$

Тождество доказано.

Докажите тождество:

$$\frac{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}{\cos a + \cos 3a + \cos 5a} = \operatorname{tg} 3a$$

Шаг 1: Группируем синусы и косинусы

В числителе и знаменателе — три слагаемых:

• Числитель: $\sin a + \sin 3a + \sin 5a$
• Знаменатель: $\cos a + \cos 3a + \cos 5a$

Идея: сгруппировать внешние члены по формуле суммы синусов и косинусов.

Шаг 2: Используем формулы суммы тригонометрических функций

Формулы:

• $\sin x + \sin y = 2 \sin \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x — y}{2} \right)$
• $\cos x + \cos y = 2 \cos \left( \frac{x + y}{2} \right) \cos \left( \frac{x — y}{2} \right)$

2.1 Преобразуем числитель

$$\sin a + \sin 5a = 2 \sin \left( \frac{a + 5a}{2} \right) \cos \left( \frac{a — 5a}{2} \right) = 2 \sin 3a \cdot \cos(-2a)$$

Поскольку $\cos(-x) = \cos x$, то:

$$\sin a + \sin 5a = 2 \sin 3a \cdot \cos 2a$$

Теперь прибавим оставшееся слагаемое $+ \sin 3a$:

$$\sin a + \sin 3a + \sin 5a = 2 \sin 3a \cdot \cos 2a + \sin 3a$$

2.2 Преобразуем знаменатель

Аналогично:

$$\cos a + \cos 5a = 2 \cos \left( \frac{a + 5a}{2} \right) \cos \left( \frac{a — 5a}{2} \right) = 2 \cos 3a \cdot \cos(-2a) = 2 \cos 3a \cdot \cos 2a$$

Теперь прибавим оставшееся слагаемое $+ \cos 3a$:

$$\cos a + \cos 3a + \cos 5a = 2 \cos 3a \cdot \cos 2a + \cos 3a$$

Шаг 3: Подставим полученные выражения

Подставляем в исходную дробь:

$$\frac{2 \sin 3a \cdot \cos 2a + \sin 3a}{2 \cos 3a \cdot \cos 2a + \cos 3a}$$

Шаг 4: Вынесем общий множитель

В числителе и знаменателе есть общий множитель:

• В числителе: $\sin 3a \cdot (2 \cos 2a + 1)$
• В знаменателе: $\cos 3a \cdot (2 \cos 2a + 1)$

Итак:

$$\frac{\sin 3a \cdot (2 \cos 2a + 1)}{\cos 3a \cdot (2 \cos 2a + 1)}$$

Шаг 5: Сократим одинаковые множители

$$\frac{\sin 3a}{\cos 3a} = \operatorname{tg} 3a$$

Тождество доказано:

$$\frac{\sin a + \sin 3a + \sin 5a}{\cos a + \cos 3a + \cos 5a} = \operatorname{tg} 3a$$