ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 21 Алимов — Подробные Ответы

1. bn = 3*(-2)n;
2. bn = -5*4n;
3. bn = 8*(-1/3)(n-1);
4. bn = 3*(-1/2)(n-1).

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы;

1)

$b_n=3\cdot (-2{)}^n;$

$b_{n+1}=3\cdot (-2{)}^{n+1}=3\cdot (-2{)}^n\cdot (-2)=-6\cdot (-2{)}^n;$

$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{-6\cdot (-2{)}^n}{3\cdot (-2{)}^n}=\frac{-6}{3}=-2;$

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }>1$ — прогрессия не убывает;

Ответ: не является.

2)

$b_n=-5\cdot 4^n;$

$b_{n+1}=-5\cdot 4^{n+1}=-5\cdot 4^n\cdot 4=-20\cdot 4^n;$

$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{-20\cdot 4^n}{-5\cdot 4^n}=\frac{20}{5}=4;$

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }>1$ — прогрессия не убывает;

Ответ: не является.

3)

$b_n=8\cdot {(-\frac{1}{3})}^{n-1}=8\cdot {(-\frac{1}{3})}^n:(-\frac{1}{3})=-24\cdot {(-\frac{1}{3})}^n;$

$b_{n+1}=8\cdot {(-\frac{1}{3})}^{(n+1)-1}=8\cdot {(-\frac{1}{3})}^n;$

$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{8\cdot {(-\frac{1}{3})}^n}{-24\cdot {(-\frac{1}{3})}^n}=\frac{8}{-24}=-\frac{1}{3};$

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$ — прогрессия бесконечно убывает;

Ответ: является.

4)

$b_n=3\cdot {(-\frac{1}{2})}^{n-1}=3\cdot {(-\frac{1}{2})}^n:(-\frac{1}{2})=-6\cdot {(-\frac{1}{2})}^n;$

$b_{n+1}=3\cdot {(-\frac{1}{2})}^{(n+1)-1}=3\cdot {(-\frac{1}{2})}^n;$

$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3\cdot {(-\frac{1}{2})}^n}{-6\cdot {(-\frac{1}{2})}^n}=\frac{3}{-6}=-\frac{1}{2};$

$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }<1$ — прогрессия бесконечно убывает;

Ответ: является.

Геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей, если модуль её знаменателя меньше единицы.

1) $b_n=3\cdot (-2{)}^n$

1.1. Для нахождения следующего члена прогрессии используем формулу для $b_{n+1}$:

$$b_{n+1}=3\cdot (-2{)}^{n+1}=3\cdot (-2{)}^n\cdot (-2)=-6\cdot (-2{)}^n$$

1.2. Теперь находим знаменатель прогрессии $q$ как отношение $b_{n+1}$ к $b_n$:

$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{-6\cdot (-2{)}^n}{3\cdot (-2{)}^n}=\frac{-6}{3}=-2$$

1.3. Модуль знаменателя:

$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=2$$

1.4. Поскольку $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=2>1$, прогрессия не является убывающей, так как для бесконечно убывающей геометрической прогрессии $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ должно быть меньше 1.

Ответ: не является.

2) $b_n=-5\cdot 4^n$

2.1. Для нахождения следующего члена прогрессии $b_{n+1}$:

$$b_{n+1}=-5\cdot 4^{n+1}=-5\cdot 4^n\cdot 4=-20\cdot 4^n$$

2.2. Находим знаменатель прогрессии $q$:

$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{-20\cdot 4^n}{-5\cdot 4^n}=\frac{20}{5}=4$$

2.3. Модуль знаменателя:

$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=4$$

2.4. Поскольку $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=4>1$, прогрессия не является убывающей.

Ответ: не является.

3) $b_n=8\cdot {(-\frac{1}{3})}^{n-1}$

3.1. Для упрощения записи, выразим $b_n$ как:

$$b_n=8\cdot {(-\frac{1}{3})}^n:(-\frac{1}{3})=-24\cdot {(-\frac{1}{3})}^n$$

3.2. Для нахождения следующего члена прогрессии $b_{n+1}$:

$$b_{n+1}=8\cdot {(-\frac{1}{3})}^{(n+1)-1}=8\cdot {(-\frac{1}{3})}^n$$

3.3. Находим знаменатель прогрессии $q$:

$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{8\cdot {(-\frac{1}{3})}^n}{-24\cdot {(-\frac{1}{3})}^n}=\frac{8}{-24}=-\frac{1}{3}$$

3.4. Модуль знаменателя:

$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=\frac{1}{3}$$

3.5. Поскольку $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=\frac{1}{3}<1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: является.

4) $b_n=3\cdot {(-\frac{1}{2})}^{n-1}$

4.1. Для упрощения записи, выразим $b_n$ как:

$$b_n=3\cdot {(-\frac{1}{2})}^n:(-\frac{1}{2})=-6\cdot {(-\frac{1}{2})}^n$$

4.2. Для нахождения следующего члена прогрессии $b_{n+1}$:

$$b_{n+1}=3\cdot {(-\frac{1}{2})}^{(n+1)-1}=3\cdot {(-\frac{1}{2})}^n$$

4.3. Находим знаменатель прогрессии $q$:

$$q=\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{3\cdot {(-\frac{1}{2})}^n}{-6\cdot {(-\frac{1}{2})}^n}=\frac{3}{-6}=-\frac{1}{2}$$

4.4. Модуль знаменателя:

$$\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=\frac{1}{2}$$

4.5. Поскольку $\mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }=\frac{1}{2}<1$, прогрессия является бесконечно убывающей.

Ответ: является.