ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 537 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1. sin(пи/3 + a) + sin (пи/3 -a);
2. cos(пи/4 — b) — cos(пи/4 +b);
3. sin2(пи/4 + a) — sin2 (пи/4 -a);
4. cos2(a-пи/4) — cos2(a+пи/4).

1.

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} + a \right) + \sin \left( \frac{\pi}{3} — a \right) = 2 \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{3} + a + \frac{\pi}{3} — a}{2} \cdot \cos \frac{\frac{\pi}{3} + a — \frac{\pi}{3} + a}{2} =$$ $$= 2 \cdot \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos a = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos a = \sqrt{3} \cos a;$$

2.

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} — \beta \right) — \cos \left( \frac{\pi}{4} + \beta \right) = -2 \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{4} — \beta + \frac{\pi}{4} + \beta}{2} \cdot \sin \frac{\frac{\pi}{4} — \beta — \frac{\pi}{4} — \beta}{2} =$$ $$= -2 \cdot \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin (-\beta) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin \beta = \sqrt{2} \sin \beta;$$

3.

$$\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right) — \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right) =$$ $$= \left( \sin \left( \frac{\pi}{4} + a \right) — \sin \left( \frac{\pi}{4} — a \right) \right) \left( \sin \left( \frac{\pi}{4} + a \right) + \sin \left( \frac{\pi}{4} — a \right) \right) =$$ $$= 2 \sin \frac{\frac{\pi}{4} + a — \frac{\pi}{4} + a}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{4} + a + \frac{\pi}{4} — a}{2} \cdot 2 \sin \frac{\frac{\pi}{4} + a + \frac{\pi}{4} — a}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{4} + a — \frac{\pi}{4} + a}{2} =$$ $$= 2 \sin a \cdot \cos \frac{\pi}{4} \cdot 2 \cdot \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos a = 2 \sin a \cos a \cdot 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} =$$ $$= \sin 2a \cdot \sin \frac{\pi}{2} = \sin 2a \cdot 1 = \sin 2a;$$

4.

$$\cos^2 \left( a — \frac{\pi}{4} \right) — \cos^2 \left( a + \frac{\pi}{4} \right) =$$ $$= \left( \cos \left( a — \frac{\pi}{4} \right) — \cos \left( a + \frac{\pi}{4} \right) \right) \left( \cos \left( a — \frac{\pi}{4} \right) + \cos \left( a + \frac{\pi}{4} \right) \right) =$$ $$= -2 \sin \frac{a — \frac{\pi}{4} + a + \frac{\pi}{4}}{2} \sin \frac{a — \frac{\pi}{4} — a — \frac{\pi}{4}}{2} \cdot 2 \cos \frac{a — \frac{\pi}{4} + a + \frac{\pi}{4}}{2} \cos \frac{a — \frac{\pi}{4} — a — \frac{\pi}{4}}{2} =$$ $$= -2 \cdot \sin a \cdot \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) \cdot 2 \cdot \cos a \cdot \cos \left( -\frac{\pi}{4} \right) = 2 \sin a \cos a \cdot 2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \frac{\pi}{4} =$$ $$= \sin 2a \cdot \sin \frac{\pi}{2} = \sin 2a \cdot 1 = \sin 2a;$$

1)

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} + a \right) + \sin \left( \frac{\pi}{3} — a \right)$$

Применяем формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Пусть:
$A = \frac{\pi}{3} + a$,
$B = \frac{\pi}{3} — a$

Тогда:

• $\frac{A + B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} + a) + (\frac{\pi}{3} — a)}{2} = \frac{2\frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3}$
• $\frac{A — B}{2} = \frac{(\frac{\pi}{3} + a) — (\frac{\pi}{3} — a)}{2} = \frac{2a}{2} = a$

Подставляем:

$$2 \cdot \sin\left( \frac{\pi}{3} \right) \cdot \cos a$$

Значение:

$$\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Итог:

$$2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos a = \sqrt{3} \cos a$$

2)

$$\cos \left( \frac{\pi}{4} — \beta \right) — \cos \left( \frac{\pi}{4} + \beta \right)$$

Применяем формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \cdot \sin\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A — B}{2}\right)$$

Пусть:
$A = \frac{\pi}{4} — \beta$,
$B = \frac{\pi}{4} + \beta$

Считаем:

• $\frac{A + B}{2} = \frac{\left(\frac{\pi}{4} — \beta\right) + \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right)}{2} = \frac{2 \cdot \frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{4}$
• $\frac{A — B}{2} = \frac{\left(\frac{\pi}{4} — \beta\right) — \left(\frac{\pi}{4} + \beta\right)}{2} = \frac{-2\beta}{2} = -\beta$

Подставляем:

$$-2 \cdot \sin\left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin(-\beta)$$

Поскольку $\sin(-\beta) = -\sin \beta$, получаем:

$$-2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot (-\sin \beta) = 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin \beta = \sqrt{2} \sin \beta$$

3)

$$\sin^2 \left( \frac{\pi}{4} + a \right) — \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} — a \right)$$

Применяем формулу разности квадратов:

$$x^2 — y^2 = (x — y)(x + y)$$

То есть:

$$= \left( \sin \left( \frac{\pi}{4} + a \right) — \sin \left( \frac{\pi}{4} — a \right) \right) \cdot \left( \sin \left( \frac{\pi}{4} + a \right) + \sin \left( \frac{\pi}{4} — a \right) \right)$$

Теперь отдельно считаем каждую часть:

Первая скобка:

$$\sin A — \sin B = 2 \cdot \cos\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

• $A = \frac{\pi}{4} + a$,
  $B = \frac{\pi}{4} — a$

Считаем:

• $\frac{A + B}{2} = \frac{2\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{4}$
• $\frac{A — B}{2} = \frac{2a}{2} = a$

Итак:

$$2 \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin a$$

Вторая скобка:

$$\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Та же самая пара $A, B$

Итак:

• $\frac{A + B}{2} = \frac{\pi}{4}$
• $\frac{A — B}{2} = a$

Подставляем:

$$2 \cdot \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos a$$

Умножаем:

$$2 \sin a \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot 2 \cos a \sin \left( \frac{\pi}{4} \right)$$

Сгруппируем:

$$4 \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)$$

Поскольку:

$$\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Получаем:

$$4 \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2 = 4 \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot \sin a \cdot \cos a$$

Применяем:

$$\sin 2a = 2 \cdot \sin a \cdot \cos a$$

Итак:

$$\sin 2a$$

4)

$$\cos^2 \left( a — \frac{\pi}{4} \right) — \cos^2 \left( a + \frac{\pi}{4} \right)$$

Снова формула разности квадратов:

$$= \left( \cos \left( a — \frac{\pi}{4} \right) — \cos \left( a + \frac{\pi}{4} \right) \right) \cdot \left( \cos \left( a — \frac{\pi}{4} \right) + \cos \left( a + \frac{\pi}{4} \right) \right)$$

Первая скобка:

$$\cos A — \cos B = -2 \cdot \sin\left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin\left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Пусть:

• $A = a — \frac{\pi}{4}$,
  $B = a + \frac{\pi}{4}$

Вычисляем:

• $\frac{A + B}{2} = \frac{2a}{2} = a$
• $\frac{A — B}{2} = \frac{-2\frac{\pi}{4}}{2} = -\frac{\pi}{4}$

Тогда:

$$-2 \cdot \sin a \cdot \sin \left( -\frac{\pi}{4} \right)$$

А $\sin \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Значит:

$$-2 \cdot \sin a \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 2 \cdot \sin a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Вторая скобка:

$$\cos A + \cos B = 2 \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Те же значения:

• $\frac{A + B}{2} = a$
• $\frac{A — B}{2} = -\frac{\pi}{4}$

Поскольку $\cos(-x) = \cos x$, то:

$$2 \cdot \cos a \cdot \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)$$

Итак:

$$2 \cdot \cos a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Теперь перемножаем:

$$\left( 2 \cdot \sin a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) \cdot \left( 2 \cdot \cos a \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = 4 \cdot \sin a \cdot \cos a \cdot \frac{1}{2} = 2 \cdot \sin a \cdot \cos a$$

А значит:

$$\sin 2a$$