ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 450 Алимов — Подробные Ответы

Каковы знаки чисел sin a, cos а, tg а, ctg а, если:

1. 3 пи < a < 10 пи/3;
2. 5 пи/2 < a < 11 пи/4.

Определить знаки чисел $\sin a$, $\cos a$, $\operatorname{tg} a$, $\operatorname{ctg} a$, если:

$3\pi < a < \frac{10\pi}{3} \quad |-2\pi|$

$\pi < a < \frac{4\pi}{3}$;

$\pi < a < \frac{3\pi}{2}$;

Точка, полученная поворотом, находится в III четверти;

Ответ: $\sin a < 0$; $\cos a < 0$; $\operatorname{tg} a > 0$; $\operatorname{ctg} a > 0$.

2. $\frac{5\pi}{2} < a < \frac{11\pi}{4} \quad |-2\pi|$

$\frac{\pi}{2} < a < \frac{3\pi}{4}$;

$\frac{\pi}{2} < a < \pi$;

Точка, полученная поворотом, находится во II четверти;

Ответ: $\sin a > 0$; $\cos a < 0$; $\operatorname{tg} a < 0$; $\operatorname{ctg} a < 0$.

Общие сведения:

• Для угла $a$ на тригонометрической окружности можно определить его знак по значению угла, приведённого к основному интервалу $[0, 2\pi)$.
• Знаки функций в четвертях:

Задача 1) $3\pi < a < \frac{10\pi}{3}$, привести к основному интервалу

Шаг 1: Приведение угла к интервалу $[0, 2\pi)$:

$$a’ = a — 2\pi$$

Поскольку $3\pi > 2\pi$, вычитаем $2\pi$:

$$3\pi — 2\pi = \pi, \quad \frac{10\pi}{3} — 2\pi = \frac{10\pi}{3} — \frac{6\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

Итого:

$$\pi < a’ < \frac{4\pi}{3}$$

Шаг 2: Определяем, в какой четверти лежит угол $a’$.

• $\pi = 3.1415…$,
• $\frac{4\pi}{3} = 4.1887…$

Это диапазон между $\pi$ и $\frac{3\pi}{2} \approx 4.7124$.

Следовательно, $a’$ находится в III четверти.

Шаг 3: Определяем знаки функций в III четверти:

• $\sin a < 0$,
• $\cos a < 0$,
• $\tan a > 0$,
• $\cot a > 0$.

Ответ:

$$\sin a < 0; \quad \cos a < 0; \quad \operatorname{tg} a > 0; \quad \operatorname{ctg} a > 0.$$

Задача 2) $\frac{5\pi}{2} < a < \frac{11\pi}{4}$, привести к основному интервалу

Шаг 1: Приведение угла $a$:

$$a’ = a — 2\pi$$

Вычитаем $2\pi = \frac{8\pi}{4}$:

$$\frac{5\pi}{2} — 2\pi = \frac{10\pi}{4} — \frac{8\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$$ $$\frac{11\pi}{4} — 2\pi = \frac{11\pi}{4} — \frac{8\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$$

Итого:

$$\frac{\pi}{2} < a’ < \frac{3\pi}{4}$$

Шаг 2: Угол $a’$ лежит во II четверти, так как:

$$\frac{\pi}{2} < a’ < \pi$$

Шаг 3: Знаки функций во II четверти:

• $\sin a > 0$,
• $\cos a < 0$,
• $\tan a < 0$,
• $\cot a < 0$.

Ответ:

$$\sin a > 0; \quad \cos a < 0; \quad \operatorname{tg} a < 0; \quad \operatorname{ctg} a < 0.$$