ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 417 Алимов — Подробные Ответы

На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки $P(1;0)$ на угол $\alpha$:

$\mathrm{1.\; \alpha }=\frac{\pi }{4}={\left(\frac{180\cdot \pi }{\pi \cdot 4}\right)}^{\circ }={\left(\frac{180}{4}\right)}^{\circ }={45}^{\circ }$;

Точка $P$ повернется на угол ${45}^{\circ }$, против часовой стрелки

$\mathrm{2.\; \alpha }=-\frac{\pi }{3}=-{\left(\frac{180\cdot \pi }{\pi \cdot 3}\right)}^{\circ }=-{\left(\frac{180}{3}\right)}^{\circ }=-{60}^{\circ }$;

Точка $P$ повернется на угол ${60}^{\circ }$, по часовой стрелке

$\mathrm{3.\; \alpha }=-\frac{3\pi }{4}=-{\left(\frac{180\cdot 3\pi }{\pi \cdot 4}\right)}^{\circ }=-{(45\cdot 3)}^{\circ }=-{135}^{\circ }$;

Точка $P$ повернется на угол ${135}^{\circ }$, по часовой стрелке

Вот точный текст из изображения:

$\mathrm{4.\; a}=\frac{4\pi }{3}={(\frac{180}{\pi }\cdot \frac{4\pi }{3})}^{\circ }=(60\cdot 4{)}^{\circ }={240}^{\circ };$

$a_0={240}^{\circ }-{360}^{\circ }=-{120}^{\circ };$

Точка $P$ повернется на угол ${120}^{\circ }$, по часовой стрелке

$\mathrm{5.\; \alpha }=-\frac{5\pi }{4}=-{\left(\frac{180\cdot 5\pi }{\pi \cdot 4}\right)}^{\circ }=-{(45\cdot 5)}^{\circ }=-{225}^{\circ }$;

${\alpha }_0={360}^{\circ }-{225}^{\circ }={135}^{\circ }$;

Точка $P$ повернется на угол ${135}^{\circ }$, против часовой стрелки

$\mathrm{6.\; \alpha }=-{225}^{\circ }$;

${\alpha }_0={360}^{\circ }-{225}^{\circ }={135}^{\circ }$;

Точка $P$ повернется на угол ${135}^{\circ }$, против часовой стрелки

На единичной окружности построить точку, полученную поворотом точки $P(1;0)$ на угол $\alpha$.

Исходные данные и постановка задачи

• Единичная окружность — окружность радиуса 1 с центром в начале координат $(0,0)$.
• Начальная точка $P$ имеет координаты $(1;0)$ — точка на оси $x$, на правом конце окружности.
• Нужно повернуть точку $P$ вокруг центра окружности (начало координат) на угол $\alpha$.
• Направление поворота:
  • Положительный угол $\alpha >0$ — поворот против часовой стрелки.
  • Отрицательный угол $\alpha <0$ — поворот по часовой стрелке.

Математическое обоснование

Поворот точки $P(x,y)$ на угол $\alpha$ вокруг начала координат описывается матрицей поворота:

$$\left(\begin{array}{c}{x}^{\mathrm{\prime }}\\ y^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$$

В нашем случае $P=(1,0)$, тогда:

$$x^{\mathrm{\prime }}=\cos \alpha \cdot 1-\sin \alpha \cdot 0=\cos \alpha$$$$y^{\mathrm{\prime }}=\sin \alpha \cdot 1+\cos \alpha \cdot 0=\sin \alpha$$

То есть после поворота координаты точки:

$$P^{\mathrm{\prime }}=(\cos \alpha ;\sin \alpha )$$

Решение для каждого угла

1) $\alpha =\frac{\pi }{4}$

Перевод в градусы:

$$\alpha =\frac{\pi }{4}=\frac{{180}^{\circ }\cdot \pi }{\pi \cdot 4}=\frac{{180}^{\circ }}{4}={45}^{\circ }$$

Направление поворота:

Поскольку угол положительный, поворот происходит против часовой стрелки.

Новые координаты точки:

$$x^{\mathrm{\prime }}=\cos {45}^{\circ }=\cos \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$$$$y^{\mathrm{\prime }}=\sin {45}^{\circ }=\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$$

Итог:

Точка $P$ после поворота на ${45}^{\circ }$ против часовой стрелки имеет координаты

$$P^{\mathrm{\prime }}=(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$$

2) $\alpha =-\frac{\pi }{3}$

Перевод в градусы:

$$\alpha =-\frac{\pi }{3}=-\frac{{180}^{\circ }\cdot \pi }{\pi \cdot 3}=-\frac{{180}^{\circ }}{3}=-{60}^{\circ }$$

Направление поворота:

Отрицательный угол значит поворот по часовой стрелке.

Новые координаты точки:

$$x^{\mathrm{\prime }}=\cos (-{60}^{\circ })=\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}=0.5$$$$y^{\mathrm{\prime }}=\sin (-{60}^{\circ })=-\sin {60}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx -0.866$$

Итог:

Точка $P$ после поворота на ${60}^{\circ }$ по часовой стрелке имеет координаты

$$P^{\mathrm{\prime }}=(\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$$

3) $\alpha =-\frac{3\pi }{4}$

Перевод в градусы:

$$\alpha =-\frac{3\pi }{4}=-\frac{{180}^{\circ }\cdot 3\pi }{\pi \cdot 4}=-({45}^{\circ }\cdot 3)=-{135}^{\circ }$$

Направление поворота:

Отрицательный угол — поворот по часовой стрелке.

Новые координаты точки:

$$x^{\mathrm{\prime }}=\cos (-{135}^{\circ })=\cos {135}^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0.707$$$$y^{\mathrm{\prime }}=\sin (-{135}^{\circ })=-\sin {135}^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0.707$$

Итог:

Точка $P$ после поворота на ${135}^{\circ }$ по часовой стрелке имеет координаты

$$P^{\mathrm{\prime }}=(-\frac{\sqrt{2}}{2};-\frac{\sqrt{2}}{2})$$

4)

$$a=\frac{4\pi }{3}$$

Перевод в градусы:

$$a=\frac{4\pi }{3}={180}^{\circ }\cdot \frac{4\pi }{3\pi }={180}^{\circ }\cdot \frac{4}{3}={240}^{\circ }$$

Приведение угла к промежутку от $-{180}^{\circ }$ до ${180}^{\circ }$:

$$a_0={240}^{\circ }-{360}^{\circ }=-{120}^{\circ }$$

Направление поворота:

Поскольку угол отрицательный, поворот происходит по часовой стрелке на ${120}^{\circ }$.

Новые координаты точки $P^{\mathrm{\prime }}$:

$$x^{\mathrm{\prime }}=\cos (-{120}^{\circ })=\cos {120}^{\circ }=-\frac{1}{2}$$$$y^{\mathrm{\prime }}=\sin (-{120}^{\circ })=-\sin {120}^{\circ }=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Итог:

Точка $P$, после поворота на ${120}^{\circ }$ по часовой стрелке, имеет координаты

$$P^{\mathrm{\prime }}=(-\frac{1}{2};-\frac{\sqrt{3}}{2})$$

5) $\alpha =-\frac{5\pi }{4}$

Перевод в градусы:

$$\alpha =-\frac{5\pi }{4}=-\frac{{180}^{\circ }\cdot 5\pi }{\pi \cdot 4}=-({45}^{\circ }\cdot 5)=-{225}^{\circ }$$

Сопоставление с положительным углом:

Чтобы упростить визуализацию, найдем эквивалентный угол ${\alpha }_0$, который равен

$${\alpha }_0={360}^{\circ }-{225}^{\circ }={135}^{\circ }$$

Направление поворота:

Поскольку $\alpha$ отрицателен, вращение происходит по часовой стрелке, но ${\alpha }_0$ — это угол для поворота против часовой стрелки.

То есть поворот на $-{225}^{\circ }$ по часовой стрелке эквивалентен повороту на ${135}^{\circ }$ против часовой стрелки.

Новые координаты точки:

$$x^{\mathrm{\prime }}=\cos {135}^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0.707$$$$y^{\mathrm{\prime }}=\sin {135}^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0.707$$

Итог:

Точка $P$ после поворота на ${135}^{\circ }$ против часовой стрелки имеет координаты

$$P^{\mathrm{\prime }}=(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$$

6) $\alpha =-{225}^{\circ }$

Это повторение предыдущего пункта (5).

Перевод в градусы:

Уже в градусах $\alpha =-{225}^{\circ }$.

Сопоставление с положительным углом:

$${\alpha }_0={360}^{\circ }-{225}^{\circ }={135}^{\circ }$$

Направление поворота и координаты:

То же самое, как и для пункта 5.

$$P^{\mathrm{\prime }}=(-\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{\sqrt{2}}{2})$$