ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 229 Алимов — Подробные Ответы

1. 5^(x-1) < = корень x;
2. 3^x/2 > 9;
3. 3^(x2-4) > = 1;
4. 5^(2×2-18) < 1.

1)

$$5^{x-1} \leq \sqrt{5};$$ $$5^{x-1} \leq 5^{\frac{1}{2}};$$ $$x — 1 \leq \frac{1}{2};$$ $$x — 1 \leq 0.5, \text{отсюда } x \leq 1.5;$$

Ответ: $x \leq 1.5$.

2)

$$3^{\frac{x}{2}} > 9;$$ $$3^{\frac{x}{2}} > 3^2;$$ $$\frac{x}{2} > 2, \text{отсюда } x > 4;$$

Ответ: $x > 4$.

3)

$$3^{x^2-4} \geq 1;$$ $$3^{x^2-4} \geq 3^0;$$ $$x^2 — 4 \geq 0;$$ $$(x + 2)(x — 2) \geq 0;$$ $$x \leq -2 \quad \text{и} \quad x \geq 2;$$

Ответ: $x \leq -2; \, x \geq 2$.

4)

$$5^{2x^2-18} < 1;$$ $$5^{2x^2-18} < 5^0;$$ $$2x^2 — 18 < 0;$$ $$x^2 — 9 < 0;$$ $$(x + 3)(x — 3) < 0;$$ $$-3 < x < 3;$$

Ответ: $-3 < x < 3$.

1)

$$5^{x-1} \leq \sqrt{5};$$

Шаг 1. Перепишем $\sqrt{5}$ как степень числа 5:

$$\sqrt{5} = 5^{\frac{1}{2}}.$$

Неравенство теперь выглядит так:

$$5^{x-1} \leq 5^{\frac{1}{2}}.$$

Шаг 2. Применим правило неравенства для одинаковых оснований:

Поскольку основание 5 больше 1, то для одинаковых оснований неравенство между показателями сохраняется. То есть:

$$x — 1 \leq \frac{1}{2}.$$

Шаг 3. Решим неравенство относительно $x$:

$$x \leq 1.5.$$

Ответ: $x \leq 1.5$.

2)

$$3^{\frac{x}{2}} > 9;$$

Шаг 1. Перепишем 9 как степень числа 3:

$$9 = 3^2.$$

Неравенство теперь выглядит так:

$$3^{\frac{x}{2}} > 3^2.$$

Шаг 2. Применим правило неравенства для одинаковых оснований:

Поскольку основание 3 больше 1, то для одинаковых оснований неравенство между показателями сохраняется:

$$\frac{x}{2} > 2.$$

Шаг 3. Решим неравенство относительно $x$:

Умножим обе стороны неравенства на 2:

$$x > 4.$$

Ответ: $x > 4$.

3)

$$3^{x^2-4} \geq 1;$$

Шаг 1. Перепишем 1 как степень числа 3:

$$1 = 3^0.$$

Неравенство теперь выглядит так:

$$3^{x^2-4} \geq 3^0.$$

Шаг 2. Применим правило неравенства для одинаковых оснований:

Поскольку основание 3 больше 1, то для одинаковых оснований неравенство между показателями сохраняется:

$$x^2 — 4 \geq 0.$$

Шаг 3. Решим неравенство относительно $x$:

$$x^2 \geq 4.$$

Это неравенство можно решить как квадратное неравенство:

$$(x + 2)(x — 2) \geq 0.$$

Шаг 4. Определим, при каких значениях $x$ произведение будет больше или равно нулю. Произведение будет положительным или равно нулю, когда оба множителя имеют одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные):

$$x \leq -2 \quad \text{или} \quad x \geq 2.$$

Ответ: $x \leq -2; \, x \geq 2$.

4)

$$5^{2x^2-18} < 1;$$

Шаг 1. Перепишем 1 как степень числа 5:

$$1 = 5^0.$$

Неравенство теперь выглядит так:

$$5^{2x^2-18} < 5^0.$$

Шаг 2. Применим правило неравенства для одинаковых оснований:

Поскольку основание 5 больше 1, то для одинаковых оснований неравенство между показателями сохраняется:

$$2x^2 — 18 < 0.$$

Шаг 3. Решим неравенство относительно $x$:

$$2x^2 < 18.$$

Разделим обе стороны на 2:

$$x^2 < 9.$$

Это неравенство можно решить как квадратное неравенство:

$$-3 < x < 3.$$

Ответ: $-3 < x < 3$.

Ответ:

1. $x \leq 1.5$
2. $x > 4$
3. $x \leq -2; \, x \geq 2$
4. $-3 < x < 3$