ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 793 Алимов — Подробные Ответы

Найти f'(x0), если:

1. f(x) = x6, x0=1/2;
2. f(x) = x^-2, x0=3;
3. f(x) = корень x, x0=4;
4. f(x) = корень 3 степени x, x0=8;
5. f(x) = корень (5-4x), x0=1;
6. f(x) = 1/(корень (3x+1), x0=1.

1. $f(x) = x^6$ и $x_0 = \frac{1}{2}$;

$f'(x) = 6 \cdot x^{6-1} = 6x^5$;

$f’\left(\frac{1}{2}\right) = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$;

Ответ: $\frac{3}{16}$.

2. $f(x) = x^{-2}$ и $x_0 = 3$;

$f'(x) = -2 \cdot x^{-2-1} = -2 \cdot x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$;

$f'(3) = -\frac{2}{3^3} = -\frac{2}{27}$;

Ответ: $-\frac{2}{27}$.

3. $f(x) = \sqrt{x}$ и $x_0 = 4$;

$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$;

$f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$;

Ответ: $\frac{1}{4}$.

4. $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ и $x_0 = 8$;

$f'(x) = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$;

$f'(8) = \frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$;

Ответ: $\frac{1}{12}$.

5. $f(x) = \sqrt{5-4x} = (5-4x)^{\frac{1}{2}}$ и $x_0 = 1$;

$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (-4) \cdot (5-4x)^{\frac{1}{2}-1} = -2 \cdot (5-4x)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{5-4x}}$;

$f'(1) = -\frac{2}{\sqrt{5-4 \cdot 1}} = -\frac{2}{\sqrt{1}} = -2$;

Ответ: $-2$.

6. $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x+1}} = \frac{1}{(3x+1)^{\frac{1}{2}}}$ и $x_0 = 1$;

$f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3x+1)^{-1-\frac{1}{2}} = -\frac{3}{2} \cdot (3x+1)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2\sqrt{(3x+1)^3}}$;

$f'(1) = -\frac{3}{2\sqrt{(3 \cdot 1 + 1)^3}} = -\frac{3}{2\sqrt{4^3}} = -\frac{3}{2\sqrt{64}} = -\frac{3}{2 \cdot 8} = -\frac{3}{16}$;

Ответ: $-\frac{3}{16}$.

Пример 1:

Дано: $f(x) = x^6$ и $x_0 = \frac{1}{2}$

Нам нужно найти производную функции $f(x) = x^6$ и вычислить её значение в точке $x_0 = \frac{1}{2}$.

1. Шаг 1: Найдем производную функции $f(x) = x^6$.
   Применяем стандартное правило дифференцирования степенной функции:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^6) = 6 \cdot x^{6-1} = 6x^5$$

2. Шаг 2: Подставим значение $x_0 = \frac{1}{2}$ в производную.

   $$f’\left(\frac{1}{2}\right) = 6 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 6 \cdot \frac{1}{32} = \frac{6}{32} = \frac{3}{16}$$

Ответ: производная функции в точке $x_0 = \frac{1}{2}$ равна $\frac{3}{16}$.

Пример 2:

Дано: $f(x) = x^{-2}$ и $x_0 = 3$

Нам нужно найти производную функции $f(x) = x^{-2}$ и вычислить её значение в точке $x_0 = 3$.

1. Шаг 1: Найдем производную функции $f(x) = x^{-2}$.
   Применяем стандартное правило дифференцирования степенной функции:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{-2}) = -2 \cdot x^{-2-1} = -2 \cdot x^{-3} = -\frac{2}{x^3}$$

2. Шаг 2: Подставим значение $x_0 = 3$ в производную.

   $$f'(3) = -\frac{2}{3^3} = -\frac{2}{27}$$

Ответ: производная функции в точке $x_0 = 3$ равна $-\frac{2}{27}$.

Пример 3:

Дано: $f(x) = \sqrt{x}$ и $x_0 = 4$

Нам нужно найти производную функции $f(x) = \sqrt{x}$ и вычислить её значение в точке $x_0 = 4$.

1. Шаг 1: Перепишем $\sqrt{x}$ как $x^{\frac{1}{2}}$, и найдем её производную:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \cdot x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

2. Шаг 2: Подставим значение $x_0 = 4$ в производную:

   $$f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{4}$$

Ответ: производная функции в точке $x_0 = 4$ равна $\frac{1}{4}$.

Пример 4:

Дано: $f(x) = \sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$ и $x_0 = 8$

Нам нужно найти производную функции $f(x) = \sqrt[3]{x}$ и вычислить её значение в точке $x_0 = 8$.

1. Шаг 1: Найдем производную функции $f(x) = x^{\frac{1}{3}}$.
   Применяем стандартное правило дифференцирования степенной функции:

   $$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{3} \cdot x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{3} \cdot x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}$$

2. Шаг 2: Подставим значение $x_0 = 8$ в производную:

   $$f'(8) = \frac{1}{3\sqrt[3]{8^2}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{64}} = \frac{1}{3 \cdot 4} = \frac{1}{12}$$

Ответ: производная функции в точке $x_0 = 8$ равна $\frac{1}{12}$.

Пример 5:

Дано: $f(x) = \sqrt{5 — 4x} = (5 — 4x)^{\frac{1}{2}}$ и $x_0 = 1$

Нам нужно найти производную функции $f(x) = (5 — 4x)^{\frac{1}{2}}$ и вычислить её значение в точке $x_0 = 1$.

1. Шаг 1: Найдем производную функции $f(x) = (5 — 4x)^{\frac{1}{2}}$.
   Применяем цепное правило:

   $$f'(x) = \frac{1}{2} \cdot (-4) \cdot (5 — 4x)^{\frac{1}{2} — 1} = -2 \cdot (5 — 4x)^{-\frac{1}{2}} = -\frac{2}{\sqrt{5 — 4x}}$$

2. Шаг 2: Подставим значение $x_0 = 1$ в производную:

   $$f'(1) = -\frac{2}{\sqrt{5 — 4 \cdot 1}} = -\frac{2}{\sqrt{1}} = -2$$

Ответ: производная функции в точке $x_0 = 1$ равна $-2$.

Пример 6:

Дано: $f(x) = \frac{1}{\sqrt{3x + 1}} = \frac{1}{(3x + 1)^{\frac{1}{2}}}$ и $x_0 = 1$

Нам нужно найти производную функции $f(x) = \frac{1}{(3x + 1)^{\frac{1}{2}}}$ и вычислить её значение в точке $x_0 = 1$.

1. Шаг 1: Найдем производную функции $f(x) = \frac{1}{(3x + 1)^{\frac{1}{2}}}$.
   Применяем цепное правило:

   $$f'(x) = -\frac{1}{2} \cdot 3 \cdot (3x + 1)^{-1 — \frac{1}{2}} = -\frac{3}{2} \cdot (3x + 1)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{3}{2 \sqrt{(3x + 1)^3}}$$

2. Шаг 2: Подставим значение $x_0 = 1$ в производную:

   $$f'(1) = -\frac{3}{2 \sqrt{(3 \cdot 1 + 1)^3}} = -\frac{3}{2 \sqrt{4^3}} = -\frac{3}{2 \sqrt{64}} = -\frac{3}{2 \cdot 8} = -\frac{3}{16}$$

Ответ: производная функции в точке $x_0 = 1$ равна $-\frac{3}{16}$.

Итоговые выводы:

1. Мы использовали стандартные правила дифференцирования степенных функций и цепного правила для вычисления производных.
2. Важным моментом является правильное применение цепного правила для сложных выражений, например, для функций вида $(5 — 4x)^{\frac{1}{2}}$ или $\frac{1}{(3x + 1)^{\frac{1}{2}}}$.
3. После вычисления производных мы подставляли конкретные значения $x_0$, чтобы найти значения производных в этих точках.

Ответы:

1. $f'(x)$ в точке $x_0 = \frac{1}{2}$ равна $\frac{3}{16}$
2. $f'(x)$ в точке $x_0 = 3$ равна $-\frac{2}{27}$
3. $f'(x)$ в точке $x_0 = 4$ равна $\frac{1}{4}$
4. $f'(x)$ в точке $x_0 = 8$ равна $\frac{1}{12}$
5. $f'(x)$ в точке $x_0 = 1$ равна $-2$
6. $f'(x)$ в точке $x_0 = 1$ равна $-\frac{3}{16}$