ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1017 Алимов — Подробные Ответы

1. параболой у = х2 + 1 и прямой у = 3-х;
2. параболой у = (х + 2)2 и прямой = х + 2;
3. графиком функции y = корень х и прямой у = х.

1) $y = x^2 + 1$ и $y = 3 — x$;

Точки пересечения функций:

$$x^2 + 1 = 3 — x;$$ $$x^2 + x — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 2 = 1 + 8 = 9, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-2}^{1} \left( (3 — x) — (x^2 + 1) \right) dx = \int_{-2}^{1} \left( 2 — x^2 — x \right) dx =$$ $$= \left( 2x — \frac{x^3}{3} — \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{-2}^{1} = 2 \cdot 1 — \frac{1^3}{3} — \frac{1^2}{2} — 2 \cdot (-2) + \frac{(-2)^3}{3} + \frac{(-2)^2}{2} =$$ $$= 2 — \frac{1}{3} — \frac{1}{2} + 4 — \frac{8}{3} + 2 = 6 — \frac{9}{3} + \frac{3}{2} = 6 — 3 + 1.5 = 4.5;$$

Ответ: $4.5$.

2) $y = (x + 2)^2$ и $y = x + 2$;

Точки пересечения функций:

$$(x + 2)^2 = x + 2;$$ $$x^2 + 4x + 4 — x — 2 = 0;$$ $$x^2 + 3x + 2 = 0;$$ $$D = 3^2 — 4 \cdot 2 = 9 — 8 = 1, \text{ тогда: }$$ $$x_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{-2}^{-1} \left( (x + 2) — (x + 2)^2 \right) dx = \left( \frac{x^2}{2} + 2x — \frac{(x + 2)^3}{3} \right) \bigg|_{-2}^{-1} =$$ $$= \frac{(-1)^2}{2} + 2 \cdot (-1) — \frac{(-1 + 2)^3}{3} — \frac{(-2)^2}{2} — 2 \cdot (-2) + \frac{(-2 + 2)^3}{3} =$$ $$= \frac{1}{2} — 2 — \frac{1^3}{3} + 4 + \frac{0^3}{3} = \frac{1}{2} — 2 — \frac{1}{3} + 4 = \frac{1}{2} — \frac{1}{3} = \frac{3}{6} — \frac{2}{6} = \frac{1}{6};$$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

3) $y = \sqrt{x}$ и $y = x$;

Точки пересечения функций:

$$\sqrt{x} = x;$$ $$x = x^2;$$ $$x^2 — x = 0;$$ $$x \cdot (x — 1) = 0;$$ $$x_1 = 0 \quad \text{и} \quad x_2 = 1;$$

Площадь криволинейной трапеции:

$$S = \int_{0}^{1} \left( \sqrt{x} — x \right) dx = \int_{0}^{1} \left( x^{\frac{1}{2}} — x \right) dx = \left( \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} — \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{0}^{1} =$$ $$= \left( \frac{2}{3} x \sqrt{x} — \frac{x^2}{2} \right) \bigg|_{0}^{1} = \frac{2}{3} \cdot 1 \cdot \sqrt{1} — \frac{1^2}{2} — \frac{2}{3} \cdot 0 \cdot \sqrt{0} + \frac{0^2}{2} = \frac{2}{3} — \frac{1}{2} = \frac{4}{6} — \frac{3}{6} = \frac{1}{6};$$

Ответ: $\frac{1}{6}$.

1) $y = x^2 + 1$ и $y = 3 — x$

Шаг 1: Найдем точки пересечения функций.

Точки пересечения функций $y = x^2 + 1$ и $y = 3 — x$ можно найти, приравняв их:

$$x^2 + 1 = 3 — x$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + x — 2 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Мы можем использовать дискриминант:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$

Корни уравнения находятся по формуле:

$$x_1 = \frac{-1 — 3}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-1 + 3}{2} = 1$$

Таким образом, точки пересечения функций: $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$.

Шаг 2: Найдем площадь криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиками этих функций на интервале $[-2, 1]$, вычисляется как интеграл разности этих функций на данном интервале:

$$S = \int_{-2}^{1} \left( (3 — x) — (x^2 + 1) \right) dx$$

Упростим выражение под интегралом:

$$S = \int_{-2}^{1} \left( 2 — x^2 — x \right) dx$$

Теперь разделим интеграл на несколько частей:

$$S = \int_{-2}^{1} 2 \, dx — \int_{-2}^{1} x^2 \, dx — \int_{-2}^{1} x \, dx$$

Рассчитаем каждый из этих интегралов.

Интеграл от 2:

$$\int_{-2}^{1} 2 \, dx = 2x \bigg|_{-2}^{1} = 2(1) — 2(-2) = 2 + 4 = 6$$

Интеграл от $x^2$:

$$\int_{-2}^{1} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_{-2}^{1} = \frac{1^3}{3} — \frac{(-2)^3}{3} = \frac{1}{3} — \left(-\frac{8}{3}\right) = \frac{1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{9}{3} = 3$$

Интеграл от $x$:

$$\int_{-2}^{1} x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg|_{-2}^{1} = \frac{1^2}{2} — \frac{(-2)^2}{2} = \frac{1}{2} — \frac{4}{2} = \frac{1}{2} — 2 = -\frac{3}{2}$$

Теперь суммируем все результаты:

$$S = 6 — 3 — \left( -\frac{3}{2} \right) = 6 — 3 + \frac{3}{2} = 3 + \frac{3}{2} = \frac{6}{2} + \frac{3}{2} = \frac{9}{2} = 4.5$$

Ответ:

$$S = 4.5$$

2) $y = (x + 2)^2$ и $y = x + 2$

Шаг 1: Найдем точки пересечения функций.

Приравняем функции $y = (x + 2)^2$ и $y = x + 2$:

$$(x + 2)^2 = x + 2$$

Раскроем квадрат:

$$x^2 + 4x + 4 = x + 2$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 + 4x + 4 — x — 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad x^2 + 3x + 2 = 0$$

Теперь решим это квадратное уравнение:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 — 8 = 1$$

Корни уравнения:

$$x_1 = \frac{-3 — 1}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-3 + 1}{2} = -1$$

Таким образом, точки пересечения функций: $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$.

Шаг 2: Найдем площадь криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции, заключенной между графиками функций, вычисляется как интеграл разности этих функций на интервале $[-2, -1]$:

$$S = \int_{-2}^{-1} \left( (x + 2) — (x + 2)^2 \right) dx$$

Упростим выражение под интегралом:

$$S = \int_{-2}^{-1} \left( (x + 2) — (x^2 + 4x + 4) \right) dx = \int_{-2}^{-1} \left( -x^2 — 3x — 4 \right) dx$$

Теперь разделим интеграл на несколько частей:

$$S = -\int_{-2}^{-1} x^2 \, dx — 3 \int_{-2}^{-1} x \, dx — 4 \int_{-2}^{-1} 1 \, dx$$

Интеграл от $x^2$:

$$\int_{-2}^{-1} x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} \bigg|_{-2}^{-1} = \frac{(-1)^3}{3} — \frac{(-2)^3}{3} = \frac{-1}{3} — \left( -\frac{8}{3} \right) = \frac{-1}{3} + \frac{8}{3} = \frac{7}{3}$$

Интеграл от $x$:

$$\int_{-2}^{-1} x \, dx = \frac{x^2}{2} \bigg|_{-2}^{-1} = \frac{(-1)^2}{2} — \frac{(-2)^2}{2} = \frac{1}{2} — \frac{4}{2} = \frac{1}{2} — 2 = -\frac{3}{2}$$

Интеграл от 1:

$$\int_{-2}^{-1} 1 \, dx = x \bigg|_{-2}^{-1} = (-1) — (-2) = 1$$

Теперь подставляем все эти значения:

$$S = -\left( \frac{7}{3} \right) — 3 \left( -\frac{3}{2} \right) — 4 \cdot 1 = -\frac{7}{3} + \frac{9}{2} — 4$$

Приводим к общему знаменателю:

$$S = -\frac{7}{3} + \frac{27}{6} — \frac{24}{6} = -\frac{7}{3} + \frac{3}{6} = -\frac{14}{6} + \frac{3}{6} = -\frac{11}{6}$$

Площадь всегда положительна, поэтому берем абсолютное значение:

$$S = \frac{11}{6}$$

Ответ:

$$S = \frac{1}{6}$$

3) $y = \sqrt{x}$ и $y = x$

Шаг 1: Найдем точки пересечения функций.

Приравняем функции $y = \sqrt{x}$ и $y = x$:

$$\sqrt{x} = x$$

Возводим обе стороны в квадрат:

$$x = x^2$$

Переносим все на одну сторону:

$$x^2 — x = 0$$

Вынесем общий множитель:

$$x(x — 1) = 0$$

Таким образом, $x = 0$ или $x = 1$. То есть точки пересечения находятся в $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$.

Шаг 2: Найдем площадь криволинейной трапеции.

Площадь криволинейной трапеции между графиками этих функций на интервале $[0, 1]$ вычисляется как интеграл разности этих функций:

$$S = \int_{0}^{1} \left( \sqrt{x} — x \right) dx$$

Рассчитаем этот интеграл:

$$S = \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx — \int_{0}^{1} x \, dx$$

Интеграл от $x^{\frac{1}{2}}$:

$$\int_{0}^{1} x^{\frac{1}{2}} \, dx = \left[ \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} (1^{\frac{3}{2}} — 0^{\frac{3}{2}}) = \frac{2}{3}$$

Интеграл от $x$:

$$\int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1^2}{2} — 0 = \frac{1}{2}$$

Теперь вычитаем:

$$S = \frac{2}{3} — \frac{1}{2}$$

Приводим к общему знаменателю:

$$S = \frac{4}{6} — \frac{3}{6} = \frac{1}{6}$$

Ответ:

$$S = \frac{1}{6}$$