ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 396 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство (396—397).

1. log корень 6(х — 4) + log корень 6(x + 1) < = 2;
2. log3 корень 2 (x-5) + log3 корень 2(x + 12) < = 2
3. log3 (8×2 + x) > 2 + log3(x2) + log3x;
4. log2(x) + log2(x — 3) > log2(4);
5. log1/5(x — 10) — log1/5(x + 2) > = — 1;
6. log 1/корень 7(x + 10) + log 1/корень 7(x + 4) > -2.

1)$${\log }_{\sqrt{6}}(x-4)+{\log }_{\sqrt{6}}(x+1)\le 2;$$

$$\log_{\sqrt{6}}(x-4) + \log_{\sqrt{6}}(x+1) \leq 2;$$ $${\log }_{\sqrt{6}}((x-4)(x+1))\le {\log }_{\sqrt{6}}(\sqrt{6}{)}^2;$$

$$\log_{\sqrt{6}}((x-4)(x+1)) \leq \log_{\sqrt{6}}(\sqrt{6})^2;$$ $$(x-4)(x+1)\le (\sqrt{6}{)}^2;$$

$$(x-4)(x+1) \leq (\sqrt{6})^2;$$ $$x^2+x-4x-4\le 6;$$

$$x^2 + x — 4x — 4 \leq 6;$$ $$x^2-3x-10\le 0;$$

$$x^2 — 3x — 10 \leq 0;$$ $$D=3^2+4\cdot 10=9+40=49,\text{ тогда: }$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 10 = 9 + 40 = 49, \text{ тогда: }$$ $$x_1=\frac{3-7}{2}=-2\text{и}{x}_2=\frac{3+7}{2}=5;$$

$$x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5;$$ $$(x+2)(x-5)\le 0;$$

$$(x + 2)(x — 5) \leq 0;$$ $$-2 \leq x \leq 5;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x-4>0,\text{ отсюда }x>4;$$

$$x — 4 > 0, \text{ отсюда } x > 4;$$ $$x + 1 > 0, \text{ отсюда } x > -1;$$

Ответ: $4 < x \leq 5$.

2)$${\log }_{3\sqrt{2}}(x-5)+{\log }_{3\sqrt{2}}(x+12)\le 2;$$

$$\log_{3\sqrt{2}}(x-5) + \log_{3\sqrt{2}}(x+12) \leq 2;$$ $${\log }_{3\sqrt{2}}((x-5)(x+12))\le {\log }_{3\sqrt{2}}(3\sqrt{2}{)}^2;$$

$$\log_{3\sqrt{2}}((x-5)(x+12)) \leq \log_{3\sqrt{2}}(3\sqrt{2})^2;$$ $$(x-5)(x+12)\le (3\sqrt{2}{)}^2;$$

$$(x-5)(x+12) \leq (3\sqrt{2})^2;$$ $$x^2+12x-5x-60\le 9\cdot 2;$$

$$x^2 + 12x — 5x — 60 \leq 9 \cdot 2;$$ $$x^2+7x-78\le 0;$$

$$x^2 + 7x — 78 \leq 0;$$ $$D=7^2+4\cdot 78=49+312=361,\text{ тогда: }$$

$$D = 7^2 + 4 \cdot 78 = 49 + 312 = 361, \text{ тогда: }$$ $$x_1=\frac{-7-19}{2}=-13\text{и}{x}_2=\frac{-7+19}{2}=6;$$

$$x_1 = \frac{-7 — 19}{2} = -13 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 + 19}{2} = 6;$$ $$(x+13)(x-6)\le 0;$$

$$(x + 13)(x — 6) \leq 0;$$ $$-13 \leq x \leq 6;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x-5>0,\text{ отсюда }x>5;$$

$$x — 5 > 0, \text{ отсюда } x > 5;$$ $$x + 12 > 0, \text{ отсюда } x > -12;$$

Ответ: $5 < x \leq 6$.

3)$${\log }_3(8x^2+x)>2+{\log }_3{x}^2+{\log }_{3}x;$$

$$\log_3(8x^2 + x) > 2 + \log_3 x^2 + \log_3 x;$$ $${\log }_3(8x^2+x)-{\log }_3{x}^2-{\log }_{3}x>2;$$

$$\log_3(8x^2 + x) — \log_3 x^2 — \log_3 x > 2;$$ $${\log }_3\frac{8x^2+x}{x^2\cdot x}>{\log }_3{3}^2;$$

$$\log_3 \frac{8x^2 + x}{x^2 \cdot x} > \log_3 3^2;$$ $${\log }_3\frac{8x+1}{x^2}>{\log }_{3}9;$$

$$\log_3 \frac{8x + 1}{x^2} > \log_3 9;$$ $$\frac{8x+1}{x^2}>9;$$

$$\frac{8x + 1}{x^2} > 9;$$ $$8x+1>9x^2;$$

$$8x + 1 > 9x^2;$$ $$9x^2-8x-1<0;$$

$$9x^2 — 8x — 1 < 0;$$ $$D=8^2+4\cdot 9=64+36=100,\text{ тогда: }$$

$$D = 8^2 + 4 \cdot 9 = 64 + 36 = 100, \text{ тогда: }$$ $$x_1=\frac{8-10}{2\cdot 9}=-\frac{2}{18}=-\frac{1}{9};$$

$$x_1 = \frac{8 — 10}{2 \cdot 9} = -\frac{2}{18} = -\frac{1}{9};$$ $$x_2=\frac{8+10}{2\cdot 9}=\frac{18}{18}=1;$$

$$x_2 = \frac{8 + 10}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1;$$ $$(x+\frac{1}{9})(x-1)<0;$$

$$\left(x + \frac{1}{9}\right)(x — 1) < 0;$$ $$-\frac{1}{9} < x < 1;$$

Выражение имеет смысл при:

$$8x^2+x>0;$$

$$8x^2 + x > 0;$$ $$(8x+1)x>0;$$

$$(8x + 1)x > 0;$$ $$x < -\frac{1}{8} \text{ и } x > 0;$$

Ответ: $0 < x < 1$.

4)$${\log }_{2}x+{\log }_2(x-3)>{\log }_{2}4;$$

$$\log_2 x + \log_2 (x-3) > \log_2 4;$$ $${\log }_2(x(x-3))>{\log }_{2}4;$$

$$\log_2 (x(x-3)) > \log_2 4;$$ $$x(x-3)>4;$$

$$x(x-3) > 4;$$ $$x^2-3x-4>0;$$

$$x^2 — 3x — 4 > 0;$$ $$D=3^2+4\cdot 4=9+16=25,\text{ тогда: }$$

$$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25, \text{ тогда: }$$ $$x_1=\frac{3-5}{2}=-1\text{и}{x}_2=\frac{3+5}{2}=4;$$

$$x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4;$$ $$(x+1)(x-4)>0;$$

$$(x + 1)(x — 4) > 0;$$ $$x < -1 \text{ и } x > 4;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x>0;$$

$$x > 0;$$ $$x — 3 > 0, \text{ отсюда } x > 3;$$

Ответ: $x > 4$.

5)$${\log }_{\frac{1}{5}}(x-10)-{\log }_{\frac{1}{5}}(x+2)\ge -1;$$

$$\log_{\frac{1}{5}}(x-10) — \log_{\frac{1}{5}}(x+2) \geq -1;$$ $${\log }_{\frac{1}{5}}\frac{x-10}{x+2}\ge {\log }_{\frac{1}{5}}{\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1};$$

$$\log_{\frac{1}{5}} \frac{x-10}{x+2} \geq \log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{1}{5}\right)^{-1};$$ $$\frac{x-10}{x+2}\le {\left(\frac{1}{5}\right)}^{-1};$$

$$\frac{x-10}{x+2} \leq \left(\frac{1}{5}\right)^{-1};$$ $$(x-10)(x+2)\le 5(x+2{)}^2;$$

$$(x-10)(x+2) \leq 5(x+2)^2;$$ $$x^2+2x-10x-20\le 5(x^2+4x+4);$$

$$x^2 + 2x — 10x — 20 \leq 5(x^2 + 4x + 4);$$ $$x^2-8x-20\le 5x^2+20x+20;$$

$$x^2 — 8x — 20 \leq 5x^2 + 20x + 20;$$ $$4x^2+28x+40\ge 0;$$

$$4x^2 + 28x + 40 \geq 0;$$ $$x^2+7x+10\ge 0;$$

$$x^2 + 7x + 10 \geq 0;$$ $$D=7^2-4\cdot 10=49-40=9,\text{ тогда: }$$

$$D = 7^2 — 4 \cdot 10 = 49 — 40 = 9, \text{ тогда: }$$ $$x_1=\frac{-7-3}{2}=-5\text{и}{x}_2=\frac{-7+3}{2}=-2;$$

$$x_1 = \frac{-7 — 3}{2} = -5 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-7 + 3}{2} = -2;$$ $$(x+5)(x+2)\ge 0;$$

$$(x + 5)(x + 2) \geq 0;$$ $$x \leq -5 \text{ и } x \geq -2;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x-10>0,\text{ отсюда }x>10;$$

$$x — 10 > 0, \text{ отсюда } x > 10;$$ $$x + 2 > 0, \text{ отсюда } x > -2;$$

Ответ: $x > 10$.

6)$${\log }_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(x+10)+{\log }_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(x+4)>-2;$$

$$\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(x+10) + \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(x+4) > -2;$$ $${\log }_{\frac{1}{\sqrt{7}}}((x+10)(x+4))>{\log }_{\frac{1}{\sqrt{7}}}{\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)}^{-2};$$

$$\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}((x+10)(x+4)) > \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2};$$ $$(x+10)(x+4)<{\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)}^{-2};$$

$$(x+10)(x+4) < \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2};$$ $$x^2+4x+10x+40<(\sqrt{7}{)}^2;$$

$$x^2 + 4x + 10x + 40 < (\sqrt{7})^2;$$ $$x^2+14x+40<7;$$

$$x^2 + 14x + 40 < 7;$$ $$x^2+14x+33<0;$$

$$x^2 + 14x + 33 < 0;$$ $$D={14}^2-4\cdot 33=196-132=64,\text{ тогда: }$$

$$D = 14^2 — 4 \cdot 33 = 196 — 132 = 64, \text{ тогда: }$$ $$x_1=\frac{-14-8}{2}=-11\text{и}{x}_2=\frac{-14+8}{2}=-3;$$

$$x_1 = \frac{-14 — 8}{2} = -11 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-14 + 8}{2} = -3;$$ $$(x+11)(x+3)<0;$$

$$(x + 11)(x + 3) < 0;$$ $$-11 < x < -3;$$

Выражение имеет смысл при:

$$x+10>0,\text{ отсюда }x>-10;$$

$$x + 10 > 0, \text{ отсюда } x > -10;$$ $$x + 4 > 0, \text{ отсюда } x > -4;$$

Ответ: $-4 < x < -3$.

Задача 1

$$\log_{\sqrt{6}}(x — 4) + \log_{\sqrt{6}}(x + 1) \leq 2$$

Шаг 1. Используем свойство логарифмов:

$$\log_a A + \log_a B = \log_a (A \cdot B)$$ $$\Rightarrow \log_{\sqrt{6}}[(x — 4)(x + 1)] \leq 2$$

Шаг 2. Представим правую часть в виде логарифма:

$$2 = \log_{\sqrt{6}}((\sqrt{6})^2) \Rightarrow \log_{\sqrt{6}}[(x — 4)(x + 1)] \leq \log_{\sqrt{6}}(6)$$

Шаг 3. Убираем логарифмы (основание > 1):

$$(x — 4)(x + 1) \leq 6$$

Шаг 4. Раскроем скобки и перенесём 6:

$$x^2 — 3x — 4 \leq 6 \Rightarrow x^2 — 3x — 10 \leq 0$$

Шаг 5. Решаем квадратное неравенство:

$$D = 9 + 40 = 49,\quad \sqrt{D} = 7 \Rightarrow x_1 = \frac{3 — 7}{2} = -2,\quad x_2 = \frac{3 + 7}{2} = 5$$ $$(x + 2)(x — 5) \leq 0 \Rightarrow x \in [-2, 5]$$

Шаг 6. Проверим ОДЗ:

• $x — 4 > 0 \Rightarrow x > 4$
• $x + 1 > 0 \Rightarrow x > -1$

ОДЗ: $x > 4$

Шаг 7. Пересечение ОДЗ и области из неравенства:

$$x \in [-2, 5] \cap (4, \infty) = (4, 5]$$

Ответ:

$$\boxed{4 < x \leq 5}$$

Задача 2

$$\log_{3\sqrt{2}}(x — 5) + \log_{3\sqrt{2}}(x + 12) \leq 2$$

Шаг 1. Объединяем логарифмы:

$$\log_{3\sqrt{2}}[(x — 5)(x + 12)] \leq \log_{3\sqrt{2}}((3\sqrt{2})^2)$$ $$(3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18 \Rightarrow \log_{3\sqrt{2}}[(x — 5)(x + 12)] \leq \log_{3\sqrt{2}} 18$$

Шаг 2. Переход к неравенству:

$$(x — 5)(x + 12) \leq 18 \Rightarrow x^2 + 7x — 60 \leq 18 \Rightarrow x^2 + 7x — 78 \leq 0$$

Шаг 3. Найдём корни:

$$D = 49 + 312 = 361 \Rightarrow \sqrt{D} = 19$$ $$x_1 = \frac{-7 — 19}{2} = -13,\quad x_2 = \frac{-7 + 19}{2} = 6 \Rightarrow x \in [-13, 6]$$

Шаг 4. ОДЗ:

• $x — 5 > 0 \Rightarrow x > 5$
• $x + 12 > 0 \Rightarrow x > -12$

ОДЗ: $x > 5$

Шаг 5. Пересечение:

$$x \in [-13, 6] \cap (5, \infty) = (5, 6]$$

Ответ:

$$\boxed{5 < x \leq 6}$$

Задача 3

$$\log_3(8x^2 + x) > 2 + \log_3 x^2 + \log_3 x$$

Шаг 1. Объединяем правую часть:

$$\log_3(8x^2 + x) — \log_3(x^2 \cdot x) > 2 \Rightarrow \log_3\left(\frac{8x^2 + x}{x^3}\right) > 2$$ $$\Rightarrow \frac{8x^2 + x}{x^3} > 3^2 = 9 \Rightarrow \frac{8x + 1}{x^2} > 9$$

Шаг 2. Переносим и решаем неравенство:

$$\frac{8x + 1}{x^2} > 9 \Rightarrow 8x + 1 > 9x^2 \Rightarrow 9x^2 — 8x — 1 < 0$$

Шаг 3. Решим квадратное неравенство:

$$D = 64 + 36 = 100,\quad \sqrt{D} = 10 \Rightarrow x_1 = \frac{8 — 10}{18} = -\frac{1}{9},\quad x_2 = \frac{8 + 10}{18} = 1$$ $$x \in \left(-\frac{1}{9}, 1\right)$$

Шаг 4. ОДЗ:

• $8x^2 + x > 0 \Rightarrow x(8x + 1) > 0$
• $x < -\frac{1}{8}$ или $x > 0$

Шаг 5. Пересечение:

$$\left(-\frac{1}{9}, 1\right) \cap \left( (-\infty, -\frac{1}{8}) \cup (0, \infty) \right) = (0, 1)$$

Ответ:

$$\boxed{0 < x < 1}$$

Задача 4

$$\log_2 x + \log_2(x — 3) > \log_2 4$$

Шаг 1. Объединение логарифмов:

$$\log_2(x(x — 3)) > \log_2 4 \Rightarrow x(x — 3) > 4 \Rightarrow x^2 — 3x — 4 > 0$$

Шаг 2. Решим неравенство:

$$D = 9 + 16 = 25,\quad x_1 = \frac{3 — 5}{2} = -1,\quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \Rightarrow x < -1 \quad \text{или} \quad x > 4$$

Шаг 3. ОДЗ:

• $x > 0$
• $x — 3 > 0 \Rightarrow x > 3$

ОДЗ: $x > 3$

Шаг 4. Пересечение:

$$x > 4$$

Ответ:

$$\boxed{x > 4}$$

Задача 5

$$\log_{\frac{1}{5}}(x — 10) — \log_{\frac{1}{5}}(x + 2) \geq -1$$

Шаг 1. Свойства логарифмов:

$$\log_{\frac{1}{5}} \left(\frac{x — 10}{x + 2}\right) \geq \log_{\frac{1}{5}} 5 \Rightarrow \frac{x — 10}{x + 2} \leq 5$$

Шаг 2. Умножим обе части на $x + 2$:

$$x — 10 \leq 5(x + 2) \Rightarrow x — 10 \leq 5x + 10 \Rightarrow -4x \leq 20 \Rightarrow x \geq -5$$

Нет! Лучше перенести всё в одну сторону:

$$(x — 10)(x + 2) \leq 5(x + 2)^2 \Rightarrow x^2 — 8x — 20 \leq 5x^2 + 20x + 20 \Rightarrow 4x^2 + 28x + 40 \geq 0$$

Шаг 3. Решим неравенство:

$$x^2 + 7x + 10 \geq 0 \Rightarrow x \leq -5 \quad \text{или} \quad x \geq -2$$

Шаг 4. ОДЗ:

• $x — 10 > 0 \Rightarrow x > 10$
• $x + 2 > 0 \Rightarrow x > -2$

ОДЗ: $x > 10$

Шаг 5. Пересечение:

$$x > 10$$

Ответ:

$$\boxed{x > 10}$$

Задача 6

$$\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(x + 10) + \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(x + 4) > -2$$

Шаг 1. Объединяем:

$$\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}((x + 10)(x + 4)) > \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}\left( \left( \frac{1}{\sqrt{7}} \right)^{-2} \right)$$ $$\Rightarrow (x + 10)(x + 4) < 7 \Rightarrow x^2 + 14x + 40 < 7 \Rightarrow x^2 + 14x + 33 < 0$$

Шаг 2. Решим квадратное неравенство:

$$D = 196 — 132 = 64,\quad x_1 = -11,\quad x_2 = -3 \Rightarrow x \in (-11, -3)$$

Шаг 3. ОДЗ:

• $x + 10 > 0 \Rightarrow x > -10$
• $x + 4 > 0 \Rightarrow x > -4$

ОДЗ: $x > -4$

Шаг 4. Пересечение:

$$x \in (-11, -3) \cap (-4, \infty) = (-4, -3)$$

Ответ:

$$\boxed{-4 < x < -3}$$