ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 821 Алимов — Подробные Ответы

1) $f(x)=\frac{2x^2-3x+1}{x+1}$

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(2x^2-3x+1{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot (x+1)-(2x^2-3x+1)\cdot (x+1{)}^{\mathrm{\prime }}}{(x+1{)}^2};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(2\cdot 2x-3)(x+1)-(2x^2-3x+1)\cdot 1}{(x+1{)}^2};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{4x^2+4x-3x-3-2x^2+3x-1}{(x+1{)}^2};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2x^2+4x-4}{(x+1{)}^2};$$

2) $f(x)=\frac{3x^2+2x-1}{2x+1}$

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(3x^2+2x-1{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot (2x+1)-(3x^2+2x-1)\cdot (2x+1{)}^{\mathrm{\prime }}}{(2x+1{)}^2};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(3\cdot 2x+2)(2x+1)-(3x^2+2x-1)\cdot 2}{(2x+1{)}^2};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{12x^2+6x+4x+2-6x^2-4x+2}{(2x+1{)}^2};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{6x^2+6x+4}{(2x+1{)}^2};$$

3) $f(x)=\frac{2-x}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{2-x}$

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(2-x{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot \sqrt{x}-(2-x)\cdot (\sqrt{x}{)}^{\mathrm{\prime }}}{(\sqrt{x}{)}^2}+\frac{(\sqrt{x}{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot (2-x)-\sqrt{x}\cdot (2-x{)}^{\mathrm{\prime }}}{(2-x{)}^2};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-1\cdot \sqrt{x}-(2-x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}+\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (2-x)-\sqrt{x}\cdot (-1)}{(2-x{)}^2};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-2x-2+x}{2x\sqrt{x}}:x+\frac{2-x+2x}{2(2-x{)}^2\sqrt{x}};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-2-x}{2x\sqrt{x}}+\frac{2+x}{2x(2-x{)}^2\sqrt{x}};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(-2-x)(2-x{)}^2+(2+x)x}{2x\sqrt{x}\cdot (2-x{)}^2};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(-2-x)(4-4x+x^2)+2x+x^2}{2x\sqrt{x}\cdot (2-x{)}^2};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-8+8x-2x^2-4x+4x^2-x^3+2x+x^2}{2x\sqrt{x}\cdot (2-x{)}^2};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-x^3+3x^2+6x-8}{2x\sqrt{x}\cdot (2-x{)}^2};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{5x^2-x^3-4x+10x-2x^2-8}{2x\sqrt{x}\cdot (2-x{)}^2};$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(x+2)(5x-x^2-4)}{2x\sqrt{x}\cdot (2-x{)}^2}$$

1) $f(x)=\frac{2x^2-3x+1}{x+1}$

Задача состоит в нахождении производной для дробной функции. Для этого применяем правило производной дроби:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)}{[v(x){]}^2}$$

Где:

• $u(x)=2x^2-3x+1$
• $v(x)=x+1$

Шаг 1: Находим производные от $u(x)$ и $v(x)$

Производная от $u(x)=2x^2-3x+1$:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=4x-3$$

Производная от $v(x)=x+1$:

$$v^{\mathrm{\prime }}(x)=1$$

Шаг 2: Подставляем в формулу производной

Теперь подставляем эти производные в формулу для $f^{\mathrm{\prime }}(x)$:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(4x-3)(x+1)-(2x^2-3x+1)\cdot 1}{(x+1{)}^2}$$

Шаг 3: Упрощаем числитель

Раскроем скобки в первом слагаемом:

$$(4x-3)(x+1)=4x^2+4x-3x-3=4x^2+x-3$$

Второе слагаемое:

$$(2x^2-3x+1)\cdot 1=2x^2-3x+1$$

Теперь подставим эти результаты:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{4x^2+x-3-(2x^2-3x+1)}{(x+1{)}^2}$$

Шаг 4: Упрощаем числитель

Теперь упростим числитель, объединяя подобные члены:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{4x^2+x-3-2x^2+3x-1}{(x+1{)}^2}$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2x^2+4x-4}{(x+1{)}^2}$$

Это и есть производная функции.

2) $f(x)=\frac{3x^2+2x-1}{2x+1}$

Для этой функции также применим правило производной дроби:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{u^{\mathrm{\prime }}(x)\cdot v(x)-u(x)\cdot v^{\mathrm{\prime }}(x)}{[v(x){]}^2}$$

Где:

• $u(x)=3x^2+2x-1$
• $v(x)=2x+1$

Шаг 1: Находим производные от $u(x)$ и $v(x)$

Производная от $u(x)=3x^2+2x-1$:

$$u^{\mathrm{\prime }}(x)=6x+2$$

Производная от $v(x)=2x+1$:

$$v^{\mathrm{\prime }}(x)=2$$

Шаг 2: Подставляем в формулу производной

Подставляем найденные производные в формулу:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(6x+2)(2x+1)-(3x^2+2x-1)\cdot 2}{(2x+1{)}^2}$$

Шаг 3: Упрощаем числитель

Раскроем скобки в первом слагаемом:

$$(6x+2)(2x+1)=12x^2+6x+4x+2=12x^2+10x+2$$

Второе слагаемое:

$$(3x^2+2x-1)\cdot 2=6x^2+4x-2$$

Теперь подставим эти результаты:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{12x^2+10x+2-(6x^2+4x-2)}{(2x+1{)}^2}$$

Шаг 4: Упрощаем числитель

Объединяем подобные члены:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{12x^2+10x+2-6x^2-4x+2}{(2x+1{)}^2}$$$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{6x^2+6x+4}{(2x+1{)}^2}$$

3) $f(x)=\frac{2-x}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{2-x}$

В этом примере нам нужно найти производную суммы двух дробей, поэтому сначала найдём производные каждой дроби по отдельности, применяя правило производной дроби и правило производной произведения.

Шаг 1: Находим производную первой дроби $\frac{2-x}{\sqrt{x}}$

Для $u(x)=2-x$ и $v(x)=\sqrt{x}$, производная будет:

$$f_1^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(2-x{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot \sqrt{x}-(2-x)\cdot (\sqrt{x}{)}^{\mathrm{\prime }}}{(\sqrt{x}{)}^2}$$$$f_1^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-1\cdot \sqrt{x}-(2-x)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}$$

Упрощаем:

$$f_1^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-2x-2+x}{2x\sqrt{x}}:x$$

Шаг 2: Находим производную второй дроби $\frac{\sqrt{x}}{2-x}$

Для $u(x)=\sqrt{x}$ и $v(x)=2-x$, производная будет:

$$f_2^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(\sqrt{x}{)}^{\mathrm{\prime }}\cdot (2-x)-\sqrt{x}\cdot (2-x{)}^{\mathrm{\prime }}}{(2-x{)}^2}$$$$f_2^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\cdot (2-x)-\sqrt{x}\cdot (-1)}{(2-x{)}^2}$$

Шаг 3: Объединяем результаты

Теперь объединяем оба слагаемых:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-2-x}{2x\sqrt{x}}+\frac{2+x}{2x(2-x{)}^2\sqrt{x}}$$

Шаг 4: Упрощаем

Выражаем это в более удобном виде:

$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{(-2-x)(2-x{)}^2+(2+x)x}{2x\sqrt{x}\cdot (2-x{)}^2}$$

Итоговое решение:

1. $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{2x^2+4x-4}{(x+1{)}^2}$
2. $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{6x^2+6x+4}{(2x+1{)}^2}$
3. $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{-x^3+3x^2+6x-8}{2x\sqrt{x}\cdot (2-x{)}^2}$