ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 623 Алимов — Подробные Ответы

1. 1 + 7 cos2 x = 3 sin 2x;
2. 3 + sin 2x = 4 sin2 x;
3. cos 2x + cos2 дг + sin x cos x = 0;
4. 3 cos 2x + sin2 x + 5 sin x cos x = 0.

Задача 1:

$1+7{\cos }^{2}x=3\sin 2x$;
${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x+7{\cos }^{2}x=3\cdot 2\sin x\cdot \cos x$;
${\sin }^{2}x+8{\cos }^{2}x-6\sin x\cdot \cos x=0\mathrm{\mid }:{\cos }^{2}x$;
${\mathrm{tg}}^{2}x+8-6\mathrm{tg}x=0$;

Пусть $y=\mathrm{tg}x$, тогда:
$y^2-6y+8=0$;
$D=6^2-4\cdot 8=36-32=4$, тогда:
$y_1=\frac{6-2}{2}=2$ и $y_2=\frac{6+2}{2}=4$;

Первое уравнение:
$\mathrm{tg}x=2$;
$x=\mathrm{arctg}2+\pi n$;

Второе уравнение:
$\mathrm{tg}x=4$;
$x=\mathrm{arctg}4+\pi n$;

Ответ: $\mathrm{arctg}2+\pi n$; $\mathrm{arctg}4+\pi n$.

Задача 2:

$3+\sin 2x=4{\sin }^{2}x$;
$3({\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x)+2\sin x\cdot \cos x=4{\sin }^{2}x$;
$3{\cos }^{2}x+3{\sin }^{2}x+2\sin x\cdot \cos x-4{\sin }^{2}x=0$;
$3{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+2\sin x\cdot \cos x=0\mathrm{\mid }:{\cos }^{2}x$;
$3-{\mathrm{tg}}^{2}x+2\mathrm{tg}x=0$;

Пусть $y=\mathrm{tg}x$, тогда:
$3-y^2+2y=0$;
$y^2-2y-3=0$;
$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16$, тогда:
$y_1=\frac{2-4}{2}=-1$ и $y_2=\frac{2+4}{2}=3$;

Первое уравнение:
$\mathrm{tg}x=-1$;
$x=-\mathrm{arctg}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n$;

Второе уравнение:
$\mathrm{tg}x=3$;
$x=\mathrm{arctg}3+\pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi }{4}+\pi n$; $\mathrm{arctg}3+\pi n$.

Задача 3:

$\cos 2x+{\cos }^{2}x+\sin x\cdot \cos x=0$;
${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+\sin x\cdot \cos x=0$;
$2{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+\sin x\cdot \cos x=0\mathrm{\mid }:{\cos }^{2}x$;
$2-{\mathrm{tg}}^{2}x+\mathrm{tg}x=0$;

Пусть $y=\mathrm{tg}x$, тогда:
$2-y^2+y=0$;
$y^2-y-2=0$;
$D=1^2+4\cdot 2=1+8=9$, тогда:
$y_1=\frac{1-3}{2}=-1$ и $y_2=\frac{1+3}{2}=2$;

Первое уравнение:
$\mathrm{tg}x=-1$;
$x=-\mathrm{arctg}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n$;

Второе уравнение:
$\mathrm{tg}x=2$;
$x=\mathrm{arctg}2+\pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi }{4}+\pi n$; $\mathrm{arctg}2+\pi n$.

Задача 4:

$3\cos 2x+{\sin }^{2}x+5\sin x\cdot \cos x=0$;
$3({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)+{\sin }^{2}x+5\sin x\cdot \cos x=0$;
$3{\cos }^{2}x-3{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x+5\sin x\cdot \cos x=0$;
$3{\cos }^{2}x-2{\sin }^{2}x+5\sin x\cdot \cos x=0\mathrm{\mid }:{\cos }^{2}x$;
$3-2{\mathrm{tg}}^{2}x+5\mathrm{tg}x=0$;

Пусть $y=\mathrm{tg}x$, тогда:
$3-2y^2+5y=0$;
$2y^2-5y-3=0$;
$D=5^2+4\cdot 2\cdot 3=25+24=49$, тогда:
$y_1=\frac{5-7}{2\cdot 2}=-\frac{1}{2}$ и $y_2=\frac{5+7}{2\cdot 2}=3$;

Первое уравнение:
$\mathrm{tg}x=-\frac{1}{2}$;
$x=-\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\pi n$;

Второе уравнение:
$\mathrm{tg}x=3$;
$x=\mathrm{arctg}3+\pi n$;

Ответ: $-\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\pi n$; $\mathrm{arctg}3+\pi n$.

Задача 1:

$1+7{\cos }^{2}x=3\sin 2x$

Шаг 1: Используем формулу удвоенного угла для синуса.

Мы знаем, что:

$$\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x$$

Подставляем эту формулу в исходное уравнение:

$$1+7{\cos }^{2}x=3\cdot 2\sin x\cdot \cos x$$$$1+7{\cos }^{2}x=6\sin x\cdot \cos x$$

Шаг 2: Перепишем уравнение с использованием ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$.

Перепишем уравнение, используя известное тождество ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$:

$${\sin }^{2}x+8{\cos }^{2}x-6\sin x\cdot \cos x=0$$

Теперь разделим обе части уравнения на ${\cos }^{2}x$ (при условии, что $\cos x\mathrm{\ne }0$):

$$\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}+8-6\frac{\sin x}{\cos x}=0$$

Используем $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}$, получаем:

$${\mathrm{tg}}^{2}x+8-6\mathrm{tg}x=0$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

$${\mathrm{tg}}^{2}x-6\mathrm{tg}x+8=0$$

Пусть $y=\mathrm{tg}x$, тогда уравнение примет вид:

$$y^2-6y+8=0$$

Для решения этого уравнения найдем дискриминант:

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 1\cdot 8=36-32=4$$

Теперь находим корни уравнения:

$$y_1=\frac{6-\sqrt{4}}{2}=\frac{6-2}{2}=2$$$$y_2=\frac{6+\sqrt{4}}{2}=\frac{6+2}{2}=4$$

Шаг 4: Находим значения углов $x$.

Для $y_1=2$ и $y_2=4$ находим $x$ с помощью арктангенса:

$$\mathrm{tg}x=2\Rightarrow x=\mathrm{arctg}2+\pi n$$$$\mathrm{tg}x=4\Rightarrow x=\mathrm{arctg}4+\pi n$$

Ответ:

$\mathrm{arctg}2+\pi n$; $\mathrm{arctg}4+\pi n$.

Задача 2:

$3+\sin 2x=4{\sin }^{2}x$

Шаг 1: Используем формулу удвоенного угла для синуса.

Как и в предыдущем решении, используем формулу $\sin 2x=2\sin x\cdot \cos x$:

$$3+2\sin x\cdot \cos x=4{\sin }^{2}x$$

Шаг 2: Преобразуем уравнение.

Используем ${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$ и приводим подобные члены:

$$3{\cos }^{2}x+3{\sin }^{2}x+2\sin x\cdot \cos x-4{\sin }^{2}x=0$$$$3{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+2\sin x\cdot \cos x=0$$

Теперь разделим обе части на ${\cos }^{2}x$:

$$3-{\mathrm{tg}}^{2}x+2\mathrm{tg}x=0$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение.

Теперь решаем квадратное уравнение для $y=\mathrm{tg}x$:

$$3-y^2+2y=0\Rightarrow y^2-2y-3=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16$$

Решаем квадратное уравнение:

$$y_1=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2}=\frac{2-4}{2}=-1$$$$y_2=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2}=\frac{2+4}{2}=3$$

Шаг 4: Находим значения углов $x$.

Для $y_1=-1$ и $y_2=3$ находим:

$$\mathrm{tg}x=-1\Rightarrow x=-\mathrm{arctg}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n$$$$\mathrm{tg}x=3\Rightarrow x=\mathrm{arctg}3+\pi n$$

Ответ:

$-\frac{\pi }{4}+\pi n$; $\mathrm{arctg}3+\pi n$.

Задача 3:

$\cos 2x+{\cos }^{2}x+\sin x\cdot \cos x=0$

Шаг 1: Используем формулы для $\cos 2x$ и преобразуем уравнение.

Используем формулу $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$:

$${\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x+\sin x\cdot \cos x=0$$$$2{\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x+\sin x\cdot \cos x=0$$

Теперь разделим обе части на ${\cos }^{2}x$:

$$2-{\mathrm{tg}}^{2}x+\mathrm{tg}x=0$$

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение.

Решаем квадратное уравнение для $y=\mathrm{tg}x$:

$$2-y^2+y=0\Rightarrow y^2-y-2=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-1{)}^2-4\cdot 1\cdot (-2)=1+8=9$$

Решаем уравнение:

$$y_1=\frac{1-3}{2}=-1$$$$y_2=\frac{1+3}{2}=2$$

Шаг 3: Находим значения углов $x$.

Для $y_1=-1$ и $y_2=2$ находим:

$$\mathrm{tg}x=-1\Rightarrow x=-\mathrm{arctg}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n$$$$\mathrm{tg}x=2\Rightarrow x=\mathrm{arctg}2+\pi n$$

Ответ:

$-\frac{\pi }{4}+\pi n$; $\mathrm{arctg}2+\pi n$.

Задача 4:

$3\cos 2x+{\sin }^{2}x+5\sin x\cdot \cos x=0$

Шаг 1: Используем формулу для $\cos 2x$.

$$3({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)+{\sin }^{2}x+5\sin x\cdot \cos x=0$$$$3{\cos }^{2}x-3{\sin }^{2}x+{\sin }^{2}x+5\sin x\cdot \cos x=0$$$$3{\cos }^{2}x-2{\sin }^{2}x+5\sin x\cdot \cos x=0$$

Теперь разделим обе части на ${\cos }^{2}x$:

$$3-2{\mathrm{tg}}^{2}x+5\mathrm{tg}x=0$$

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение.

Решаем квадратное уравнение для $y=\mathrm{tg}x$:

$$3-2y^2+5y=0\Rightarrow 2y^2-5y-3=0$$

Находим дискриминант:

$$D=(-5{)}^2-4\cdot 2\cdot (-3)=25+24=49$$

Решаем уравнение:

$$y_1=\frac{5-7}{2\cdot 2}=-\frac{1}{2}$$$$y_2=\frac{5+7}{2\cdot 2}=3$$

Шаг 3: Находим значения углов $x$.

Для $y_1=-\frac{1}{2}$ и $y_2=3$ находим:

$$\mathrm{tg}x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=-\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\pi n$$$$\mathrm{tg}x=3\Rightarrow x=\mathrm{arctg}3+\pi n$$

Ответ:

$-\mathrm{arctg}\frac{1}{2}+\pi n$; $\mathrm{arctg}3+\pi n$.