ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1009 Алимов — Подробные Ответы

1. интеграл (1;2) (5x-2)/ корень 3 степени x dx;
2. интеграл (1;3) (3x-1)/ корень x dx;
3. интеграл (2;7) (4/ корень (x+2) dx.

$\int_{1}^{2} \frac{5x — 2}{\sqrt[3]{x}} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{5x — 2}{x^{\frac{1}{3}}} \, dx = \int_{1}^{2} \left( 5x^{\frac{2}{3}} — 2x^{-\frac{1}{3}} \right) \, dx =$

$= \left( 5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} — 2 \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} \right) \bigg|_{1}^{2} = \left( 3 \cdot x^3 \sqrt[3]{x^2} — 3 \cdot \sqrt[3]{x^2} \right) \bigg|_{1}^{2} =$

$= 3 \cdot 2 \cdot \sqrt[3]{2^2} — 3 \cdot \sqrt[3]{2^2} — 3 \cdot 1 \cdot \sqrt[3]{1^2} + 3 \cdot \sqrt[3]{1^2} =$

$= 6 \cdot \sqrt[3]{4} — 3 \cdot \sqrt[3]{4} — 3 + 3 = 3 \sqrt[3]{4};$

$\int_{1}^{3} \frac{3x — 1}{\sqrt{x}} \, dx = \int_{1}^{3} \frac{3x — 1}{x^{\frac{1}{2}}} \, dx = \int_{1}^{3} \left( 3x^{\frac{1}{2}} — x^{-\frac{1}{2}} \right) \, dx =$

$= \left( 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} — \frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} \right) \bigg|_{1}^{3} = \left( 2x \sqrt{x} — 2 \sqrt{x} \right) \bigg|_{1}^{3} =$

$= 2 \cdot 3 \sqrt{3} — 2 \sqrt{3} — 2 \cdot 1 \sqrt{1} + 2 \sqrt{1} = 6 \sqrt{3} — 2 \sqrt{3} — 2 + 2 = 4 \sqrt{3};$

$\int_{2}^{7} \frac{4}{\sqrt{x + 2}} \, dx = \int_{2}^{7} 4(x + 2)^{-\frac{1}{2}} \, dx = 4 \cdot (x + 2)^{\frac{1}{2}} : \frac{1}{2} \bigg|_{2}^{7} = 3 \sqrt{x + 2} \bigg|_{2}^{7} =$

$= 3 \cdot \sqrt{7 + 2} — 3 \cdot \sqrt{2 + 2} = 8 \sqrt{9} — 8 \sqrt{4} = 8 \cdot 3 — 8 \cdot 2 = 8;$

1) $\int_{1}^{2} \frac{5x — 2}{\sqrt[3]{x}} \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = \frac{5x — 2}{\sqrt[3]{x}}$ на интервале от $1$ до $2$.

Шаг 1: Преобразование выражения.

Перепишем выражение, заменив кубический корень на степень $\frac{1}{3}$:

$$\frac{5x — 2}{\sqrt[3]{x}} = \frac{5x — 2}{x^{\frac{1}{3}}}.$$

Теперь разобьём на два интеграла:

$$\int_{1}^{2} \frac{5x — 2}{x^{\frac{1}{3}}} \, dx = \int_{1}^{2} 5x^{1 — \frac{1}{3}} — 2x^{0 — \frac{1}{3}} \, dx = \int_{1}^{2} 5x^{\frac{2}{3}} — 2x^{-\frac{1}{3}} \, dx.$$

Шаг 2: Интегрирование каждого слагаемого.

Теперь применим стандартные формулы для интегрирования степенных функций:

Для $5x^{\frac{2}{3}}$:

$$\int 5x^{\frac{2}{3}} \, dx = 5 \cdot \frac{x^{\frac{2}{3} + 1}}{\frac{2}{3} + 1} = 5 \cdot \frac{x^{\frac{5}{3}}}{\frac{5}{3}} = 3 \cdot x^{\frac{5}{3}}.$$

Для $-2x^{-\frac{1}{3}}$:

$$\int -2x^{-\frac{1}{3}} \, dx = -2 \cdot \frac{x^{-\frac{1}{3} + 1}}{-\frac{1}{3} + 1} = -2 \cdot \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\frac{2}{3}} = -3 \cdot x^{\frac{2}{3}}.$$

Таким образом, первообразная для $\frac{5x — 2}{x^{\frac{1}{3}}}$ будет:

$$F(x) = 3 \cdot x^{\frac{5}{3}} — 3 \cdot x^{\frac{2}{3}}.$$

Шаг 3: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь подставим пределы интегрирования $x = 1$ и $x = 2$ в первообразную:

Подставляем $x = 2$:

$$F(2) = 3 \cdot 2^{\frac{5}{3}} — 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}}.$$

Подставляем $x = 1$:

$$F(1) = 3 \cdot 1^{\frac{5}{3}} — 3 \cdot 1^{\frac{2}{3}} = 3 — 3 = 0.$$

Теперь вычисляем разность:

$$\int_{1}^{2} \frac{5x — 2}{x^{\frac{1}{3}}} \, dx = F(2) — F(1) = 3 \cdot 2^{\frac{5}{3}} — 3 \cdot 2^{\frac{2}{3}} — 0 = 3 \cdot (2^{\frac{5}{3}} — 2^{\frac{2}{3}}).$$

Ответ:

$$3 \cdot (2^{\frac{5}{3}} — 2^{\frac{2}{3}}).$$

2) $\int_{1}^{3} \frac{3x — 1}{\sqrt{x}} \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = \frac{3x — 1}{\sqrt{x}}$ на интервале от $1$ до $3$.

Шаг 1: Преобразование выражения.

Перепишем выражение, заменив квадратный корень на степень $\frac{1}{2}$:

$$\frac{3x — 1}{\sqrt{x}} = \frac{3x — 1}{x^{\frac{1}{2}}}.$$

Теперь разобьём на два интеграла:

$$\int_{1}^{3} \frac{3x — 1}{x^{\frac{1}{2}}} \, dx = \int_{1}^{3} 3x^{1 — \frac{1}{2}} — x^{0 — \frac{1}{2}} \, dx = \int_{1}^{3} 3x^{\frac{1}{2}} — x^{-\frac{1}{2}} \, dx.$$

Шаг 2: Интегрирование каждого слагаемого.

Теперь применим стандартные формулы для интегрирования степенных функций:

Для $3x^{\frac{1}{2}}$:

$$\int 3x^{\frac{1}{2}} \, dx = 3 \cdot \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} = 3 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = 2x^{\frac{3}{2}}.$$

Для $-x^{-\frac{1}{2}}$:

$$\int -x^{-\frac{1}{2}} \, dx = -2x^{\frac{1}{2}}.$$

Таким образом, первообразная для $\frac{3x — 1}{x^{\frac{1}{2}}}$ будет:

$$F(x) = 2x^{\frac{3}{2}} — 2x^{\frac{1}{2}}.$$

Шаг 3: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь подставим пределы интегрирования $x = 3$ и $x = 1$ в первообразную:

Подставляем $x = 3$:

$$F(3) = 2 \cdot 3^{\frac{3}{2}} — 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} = 2 \cdot \sqrt{27} — 2 \cdot \sqrt{3}.$$

Подставляем $x = 1$:

$$F(1) = 2 \cdot 1^{\frac{3}{2}} — 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}} = 2 — 2 = 0.$$

Теперь вычисляем разность:

$$\int_{1}^{3} \frac{3x — 1}{\sqrt{x}} \, dx = F(3) — F(1) = 2 \cdot \sqrt{27} — 2 \cdot \sqrt{3} — 0 = 2 \cdot (3\sqrt{3} — \sqrt{3}) = 2 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3}.$$

Ответ:

$$4\sqrt{3}.$$

3) $\int_{2}^{7} \frac{4}{\sqrt{x + 2}} \, dx$

Нам нужно вычислить определённый интеграл функции $f(x) = \frac{4}{\sqrt{x + 2}}$ на интервале от $2$ до $7$.

Шаг 1: Подстановка.

Для упрощения сделаем подстановку. Пусть:

$$u = x + 2, \quad du = dx.$$

Когда $x = 2$, $u = 4$, и когда $x = 7$, $u = 9$. Таким образом, интеграл преобразуется в:

$$\int_{2}^{7} \frac{4}{\sqrt{x + 2}} \, dx = \int_{4}^{9} \frac{4}{\sqrt{u}} \, du = 4 \int_{4}^{9} u^{-\frac{1}{2}} \, du.$$

Шаг 2: Интегрирование.

Теперь, используя стандартную формулу для интегрирования степенных функций:

$$\int u^{-\frac{1}{2}} \, du = 2u^{\frac{1}{2}}.$$

Таким образом, первообразная будет:

$$F(u) = 2u^{\frac{1}{2}}.$$

Шаг 3: Вычисляем определённый интеграл.

Теперь подставим пределы $u = 9$ и $u = 4$:

$$F(9) = 2 \cdot \sqrt{9} = 2 \cdot 3 = 6,$$ $$F(4) = 2 \cdot \sqrt{4} = 2 \cdot 2 = 4.$$

Теперь вычисляем разность:

$$\int_{4}^{9} u^{-\frac{1}{2}} \, du = F(9) — F(4) = 6 — 4 = 2.$$

Умножаем на 4:

$$\int_{2}^{7} \frac{4}{\sqrt{x + 2}} \, dx = 4 \cdot 2 = 8.$$

Ответ:

$$8.$$

Итоговые ответы:

1. $3 \cdot (2^{\frac{5}{3}} — 2^{\frac{2}{3}})$
2. $4\sqrt{3}$
3. $8$