ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1596 Алимов — Подробные Ответы

Найти все действительные корни уравнения |2 (корень х) + 1-х| + |x-2 (корень x) + 2|= 7.

Найти все действительные корни уравнения:

$$\mathrm{\mid }2\sqrt{x}+1-x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-2\sqrt{x}+2\mathrm{\mid }=7;$$$$\mathrm{\mid }2\sqrt{x}+1-x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }3-(2\sqrt{x}+1-x)\mathrm{\mid }=7;$$

Пусть $y=2\sqrt{x}+1-x$, тогда:

$$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }3-y\mathrm{\mid }=7;$$

Числа под знаком модуля:

$$3-y\ge 0,\text{ отсюда }y\le 3;$$$$y\ge 0;$$

Если $0\le y\le 3$, тогда:

$$y+3-y=7;$$$$0y=4-\text{корней нет};$$

Если $y>3$, тогда:

$$y-(3-y)=7;$$$$2y=10,\text{ отсюда }y=5;$$

Если $y<0$, тогда:

$$-y+3-y=7;$$$$-2y=4,\text{ отсюда }y=-2;$$

Первое значение:

$$2\sqrt{x}+1-x=5;$$$$x-2\sqrt{x}+4=0;$$$$D=2^2-4\cdot 4=4-16=-12;$$$$D<0,\text{ значит корней нет};$$

Второе значение:

$$2\sqrt{x}+1-x=-2;$$$$x-2\sqrt{x}-3=0;$$$$D=2^2+4\cdot 3=4+12=16,\text{ тогда:}$$$$\sqrt{x_1}=\frac{2-4}{2}=-1\text{ и }\sqrt{x_2}=\frac{2+4}{2}=3;$$$$x_1=(-1{)}^2=1\text{ и }{x}_2=3^2=9;$$

Выполним проверку:

$$\mathrm{\mid }2\sqrt{1}+1-1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }1-2\sqrt{1}+2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }1\mathrm{\mid }=3\mathrm{\ne }7;$$$$\mathrm{\mid }2\sqrt{9}+1-9\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }9-2\sqrt{9}+2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }6-8\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }11-6\mathrm{\mid }=2+5=7;$$

Ответ: $x=9$.

Дано уравнение:

$$\mathrm{\mid }2\sqrt{x}+1-x\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }x-2\sqrt{x}+2\mathrm{\mid }=7.$$

Рассмотрим это уравнение более внимательно, шаг за шагом. Для удобства введем обозначение:

$$y=2\sqrt{x}+1-x\mathrm{.}$$

Тогда наше уравнение примет вид:

$$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }3-y\mathrm{\mid }=7,$$

где $y=2\sqrt{x}+1-x$.

Условие для чисел под модулем

Мы знаем, что в выражениях с модулем должны выполняться определенные условия. Рассмотрим выражение $3-y$:

$$3-y\ge 0\text{или}y\le 3.$$

Также по определению $y=2\sqrt{x}+1-x$, которое мы уже ввели, очевидно, что $y\ge 0$. Таким образом, у нас есть два неравенства для $y$:

$$0\le y\le 3.$$

Рассмотрение случаев

Теперь разобьем уравнение на несколько случаев, исходя из значений $y$.

1. Когда $0\le y\le 3$

Если $0\le y\le 3$, то оба выражения под модулем принимают положительные значения, и у нас получается:

$$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }3-y\mathrm{\mid }=y+(3-y)=3.$$

Но согласно условию задачи, эта сумма должна быть равна 7:

$$3=7,$$

что является противоречием. Следовательно, в интервале $0\le y\le 3$ решений нет.

2. Когда $y>3$

Теперь рассмотрим случай, когда $y>3$. В этом случае:

$$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=y\text{и}\mathrm{\mid }3-y\mathrm{\mid }=-(3-y)=y-3.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$y+(y-3)=7\text{или}2y-3=7.$$

Решим это уравнение:

$$2y=10\Rightarrow y=5.$$

3. Когда $y<0$

В случае $y<0$ оба выражения под модулем будут отрицательными. Тогда у нас будет:

$$\mathrm{\mid }y\mathrm{\mid }=-y\text{и}\mathrm{\mid }3-y\mathrm{\mid }=3-y\mathrm{.}$$

Тогда уравнение примет вид:

$$-y+(3-y)=7\text{или}-2y+3=7.$$

Решим это уравнение:

$$-2y=4\Rightarrow y=-2.$$

Найдем значения $x$, соответствующие найденным значениям $y$

Теперь рассмотрим два полученных значения для $y$: $y=5$ и $y=-2$.

1. $y=5$

Если $y=5$, то из определения $y=2\sqrt{x}+1-x$ получаем:

$$2\sqrt{x}+1-x=5.$$

Преобразуем это уравнение:

$$2\sqrt{x}-x=4\Rightarrow x-2\sqrt{x}+4=0.$$

Это квадратное уравнение относительно $\sqrt{x}$. Обозначим $z=\sqrt{x}$, тогда уравнение примет вид:

$$z^2-2z+4=0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot 4=4-16=-12.$$

Поскольку дискриминант отрицателен, корней этого уравнения нет. Следовательно, при $y=5$ решений нет.

2. $y=-2$

Если $y=-2$, то из определения $y=2\sqrt{x}+1-x$ получаем:

$$2\sqrt{x}+1-x=-2.$$

Преобразуем это уравнение:

$$2\sqrt{x}-x=-3\Rightarrow x-2\sqrt{x}-3=0.$$

Это также квадратное уравнение относительно $\sqrt{x}$. Обозначим $z=\sqrt{x}$, тогда уравнение примет вид:

$$z^2-2z-3=0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D=(-2{)}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=4+12=16.$$

Корни этого уравнения:

$$z_1=\frac{-(-2)-\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2-4}{2}=-1\text{(отрицательное значение, не подходит)}\mathrm{.}$$$$z_2=\frac{-(-2)+\sqrt{16}}{2\cdot 1}=\frac{2+4}{2}=3.$$

Следовательно, $\sqrt{x}=3$, и $x=9$.

Проверка решения

Подставим $x=9$ в исходное уравнение:

$$\mathrm{\mid }2\sqrt{9}+1-9\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }9-2\sqrt{9}+2\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }6-8\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }11-6\mathrm{\mid }=2+5=7.$$

Условие выполнено, значит, $x=9$ — это решение.

Ответ

Единственный действительный корень уравнения:

$$x=9.$$