ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 213 Алимов — Подробные Ответы

1. 9х — 4* 3х + 3 = 0;
2. 16х — 17 * 4х + 16 = 0;
3. 25х — 6 * 5х + 5 = 0;
4. 64х — 8х — 56 = 0.

1) $9^x — 4 \cdot 3^x + 3 = 0$;

$3^{2x} — 4 \cdot 3^x + 3 = 0$;

Пусть $y = 3^x$, тогда:

$y^2 — 4y + 3 = 0;$

$D = 4^2 — 4 \cdot 3 = 16 — 12 = 4$, тогда:

$y_1 = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3;$

Первое значение:

$3^x = 1;$

$3^x = 3^0, \text{отсюда } x = 0;$

Второе значение:

$3^x = 3;$

$3^x = 3^1, \text{отсюда } x = 1;$

Ответ: $x_1 = 0; \, x_2 = 1.$

2) $16^x — 17 \cdot 4^x + 16 = 0$;

$4^{2x} — 17 \cdot 4^x + 16 = 0$;

Пусть $y = 4^x$, тогда:

$y^2 — 17y + 16 = 0;$

$D = 17^2 — 4 \cdot 16 = 289 — 64 = 225$, тогда:

$y_1 = \frac{17 — 15}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{17 + 15}{2} = 16;$

Первое значение:

$4^x = 1;$

$4^x = 4^0, \text{отсюда } x = 0;$

Второе значение:

$4^x = 16;$

$4^x = 4^2, \text{отсюда } x = 2;$

Ответ: $x_1 = 0; \, x_2 = 2.$

3) $25^x — 6 \cdot 5^x + 5 = 0$;

$5^{2x} — 6 \cdot 5^x + 5 = 0$;

Пусть $y = 5^x$, тогда:

$y^2 — 6y + 5 = 0;$

$D = 6^2 — 4 \cdot 5 = 36 — 20 = 16$, тогда:

$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5;$

Первое значение:

$5^x = 1;$

$5^x = 5^0, \text{отсюда } x = 0;$

Второе значение:

$5^x = 5;$

$5^x = 5^1, \text{отсюда } x = 1;$

Ответ: $x_1 = 0; \, x_2 = 1.$

4) $64^x — 8^x — 56 = 0$;

$8^{2x} — 8^x — 56 = 0$;

Пусть $y = 8^x$, тогда:

$y^2 — y — 56 = 0;$

$D = 1^2 + 4 \cdot 56 = 1 + 224 = 225$, тогда:

$y_1 = \frac{1 — 15}{2} = -7 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 15}{2} = 8;$

Первое значение:

$8^x = -7 \quad \text{нет корней};$

Второе значение:

$8^x = 8;$

$8^x = 8^1, \text{отсюда } x = 1;$

Ответ: $x = 1.$

1) $9^x — 4 \cdot 3^x + 3 = 0$

Шаг 1: Замена $9^x$ на $3^{2x}$

Решение начинается с того, что выражение $9^x$ можно записать через степень числа 3:

$$9^x = (3^2)^x = 3^{2x}.$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$3^{2x} — 4 \cdot 3^x + 3 = 0.$$

Далее, чтобы упростить выражение, вводим новую переменную $y = 3^x$. Таким образом, $3^{2x} = y^2$, и уравнение превращается в квадратное:

$$y^2 — 4y + 3 = 0.$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Для решения квадратного уравнения используем формулу дискриминанта $D$:

$$D = b^2 — 4ac = (-4)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 — 12 = 4.$$

Теперь находим корни уравнения по формуле:

$$y_1 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 — 2}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 2}{2} = 3.$$

Шаг 3: Подставляем найденные значения в выражение $y = 3^x$

Первое значение $y_1 = 1$:

$$3^x = 1.$$

Здесь $3^x = 3^0$, отсюда $x = 0$.

Второе значение $y_2 = 3$:

$$3^x = 3.$$

Здесь $3^x = 3^1$, отсюда $x = 1$.

Ответ: $x_1 = 0; \, x_2 = 1.$

2) $16^x — 17 \cdot 4^x + 16 = 0$

Шаг 1: Замена $16^x$ на $(4^2)^x$

Запишем $16^x$ через степень числа 4:

$$16^x = (4^2)^x = 4^{2x}.$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$4^{2x} — 17 \cdot 4^x + 16 = 0.$$

Вводим замену $y = 4^x$, и уравнение становится квадратным:

$$y^2 — 17y + 16 = 0.$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-17)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 — 64 = 225.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{17 — 15}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{17 + 15}{2} = 16.$$

Шаг 3: Подставляем найденные значения в выражение $y = 4^x$

Первое значение $y_1 = 1$:

$$4^x = 1.$$

Здесь $4^x = 4^0$, отсюда $x = 0$.

Второе значение $y_2 = 16$:

$$4^x = 16.$$

Здесь $4^x = 4^2$, отсюда $x = 2$.

Ответ: $x_1 = 0; \, x_2 = 2.$

3) $25^x — 6 \cdot 5^x + 5 = 0$

Шаг 1: Замена $25^x$ на $(5^2)^x$

Запишем $25^x$ через степень числа 5:

$$25^x = (5^2)^x = 5^{2x}.$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$5^{2x} — 6 \cdot 5^x + 5 = 0.$$

Вводим замену $y = 5^x$, и уравнение становится квадратным:

$$y^2 — 6y + 5 = 0.$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 — 20 = 16.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{6 — 4}{2} = 1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5.$$

Шаг 3: Подставляем найденные значения в выражение $y = 5^x$

Первое значение $y_1 = 1$:

$$5^x = 1.$$

Здесь $5^x = 5^0$, отсюда $x = 0$.

Второе значение $y_2 = 5$:

$$5^x = 5.$$

Здесь $5^x = 5^1$, отсюда $x = 1$.

Ответ: $x_1 = 0; \, x_2 = 1.$

4) $64^x — 8^x — 56 = 0$

Шаг 1: Замена $64^x$ на $(8^2)^x$

Запишем $64^x$ через степень числа 8:

$$64^x = (8^2)^x = 8^{2x}.$$

Подставляем это в исходное уравнение:

$$8^{2x} — 8^x — 56 = 0.$$

Вводим замену $y = 8^x$, и уравнение становится квадратным:

$$y^2 — y — 56 = 0.$$

Шаг 2: Решение квадратного уравнения

Вычислим дискриминант $D$:

$$D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-56) = 1 + 224 = 225.$$

Корни уравнения:

$$y_1 = \frac{1 — 15}{2} = -7 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1 + 15}{2} = 8.$$

Шаг 3: Подставляем найденные значения в выражение $y = 8^x$

Первое значение $y_1 = -7$ — не имеет решений, так как $8^x$ всегда положительно.

Второе значение $y_2 = 8$:

$$8^x = 8.$$

Здесь $8^x = 8^1$, отсюда $x = 1$.

Ответ: $x = 1.$

Итоговые ответы:

1. $x_1 = 0; \, x_2 = 1$.
2. $x_1 = 0; \, x_2 = 2$.
3. $x_1 = 0; \, x_2 = 1$.
4. $x = 1.$