ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 520 Алимов — Подробные Ответы

1.

$$\frac{1 — \cos 2a}{\sin 2a} \cdot \operatorname{ctg} a = 1;$$ $$\frac{2 \sin^2 a}{2 \sin a \cdot \cos a} \cdot \frac{\cos a}{\sin a} = 1;$$ $$1 = 1;$$

Тождество доказано.

2.

$$\frac{\sin 2a}{1 + \cos 2a} = \operatorname{tg} a;$$ $$\frac{2 \sin a \cdot \cos a}{2 \cos^2 a} = \operatorname{tg} a;$$ $$\frac{\sin a}{\cos a} = \operatorname{tg} a;$$ $$\operatorname{tg} a = \operatorname{tg} a;$$

Тождество доказано.

3.

$$\frac{1 — 2 \sin^2 a}{1 + \sin 2a} = \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a};$$ $$\frac{1 — (1 — \cos 2a)}{\cos^2 a + \sin^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a} = \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a};$$ $$\frac{\cos 2a}{(\cos a + \sin a)^2} = \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a};$$ $$\frac{(\cos a — \sin a)(\cos a + \sin a)}{(\cos a + \sin a)^2} = \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a};$$ $$\frac{\cos a — \sin a}{\cos a + \sin a} = \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a};$$ $$\frac{\cos a — \sin a}{\cos a + \sin a} = \frac{\frac{\cos a}{\cos a} — \frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{\cos a}{\cos a} + \frac{\sin a}{\cos a}};$$ $$\frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a} = \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a};$$

Тождество доказано.

4.

$$\frac{1 + \sin 2a}{\cos 2a} = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} + a \right);$$ $$\frac{\cos^2 a + \sin^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a}{\cos^2 a — \sin^2 a} = \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} a};$$ $$\frac{(\cos a + \sin a)^2}{(\cos a — \sin a)(\cos a + \sin a)} = \frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a};$$ $$\frac{\cos a + \sin a}{\cos a — \sin a} = \frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a};$$ $$\frac{\cos a + \sin a}{\cos a — \sin a} = \frac{\frac{\cos a}{\cos a} + \frac{\sin a}{\cos a}}{\frac{\cos a}{\cos a} — \frac{\sin a}{\cos a}};$$ $$\frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a} = \frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a};$$

Тождество доказано.

1) Доказать тождество:

$$\frac{1 — \cos 2a}{\sin 2a} \cdot \operatorname{ctg} a = 1$$

Шаг 1: Используем формулу понижения степени для числителя

$$1 — \cos 2a = 2 \sin^2 a$$

Шаг 2: Используем формулу двойного угла для синуса в знаменателе

$$\sin 2a = 2 \sin a \cdot \cos a$$

Шаг 3: Подставляем $\operatorname{ctg} a = \frac{\cos a}{\sin a}$

Шаг 4: Записываем выражение:

$$\frac{1 — \cos 2a}{\sin 2a} \cdot \operatorname{ctg} a = \frac{2 \sin^2 a}{2 \sin a \cos a} \cdot \frac{\cos a}{\sin a}$$

Шаг 5: Упрощаем дробь

• Сокращаем 2 в числителе и знаменателе,
• Сокращаем $\sin a$ в числителе и знаменателе.

Остаётся:

$$\frac{\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\cos a}{\sin a} = 1$$

Итог:

$$1 = 1$$

Тождество доказано.

2) Доказать тождество:

$$\frac{\sin 2a}{1 + \cos 2a} = \operatorname{tg} a$$

Шаг 1: Используем формулы двойного угла:

$$\sin 2a = 2 \sin a \cdot \cos a, \quad 1 + \cos 2a = 2 \cos^2 a$$

Шаг 2: Подставляем в дробь:

$$\frac{2 \sin a \cdot \cos a}{2 \cos^2 a} = \frac{\sin a}{\cos a}$$

Шаг 3: Записываем выражение через тангенс:

$$\frac{\sin a}{\cos a} = \operatorname{tg} a$$

Итог:

$$\operatorname{tg} a = \operatorname{tg} a$$

Тождество доказано.

3) Доказать тождество:

$$\frac{1 — 2 \sin^2 a}{1 + \sin 2a} = \frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a}$$

Шаг 1: Преобразуем числитель

$$1 — 2 \sin^2 a = 1 — (1 — \cos 2a) = \cos 2a$$

Шаг 2: Преобразуем знаменатель

$$1 + \sin 2a = \cos^2 a + \sin^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a = (\cos a + \sin a)^2$$

Шаг 3: Подставляем полученные выражения:

$$\frac{\cos 2a}{(\cos a + \sin a)^2}$$

Шаг 4: Факторизуем числитель:

$$\cos 2a = (\cos a — \sin a)(\cos a + \sin a)$$

Шаг 5: Записываем дробь:

$$\frac{(\cos a — \sin a)(\cos a + \sin a)}{(\cos a + \sin a)^2} = \frac{\cos a — \sin a}{\cos a + \sin a}$$

Шаг 6: Записываем правую часть через тангенс:

$$\frac{1 — \operatorname{tg} a}{1 + \operatorname{tg} a} = \frac{1 — \frac{\sin a}{\cos a}}{1 + \frac{\sin a}{\cos a}} = \frac{\frac{\cos a — \sin a}{\cos a}}{\frac{\cos a + \sin a}{\cos a}} = \frac{\cos a — \sin a}{\cos a + \sin a}$$

Итог:

$$\frac{\cos a — \sin a}{\cos a + \sin a} = \frac{\cos a — \sin a}{\cos a + \sin a}$$

Тождество доказано.

4) Доказать тождество:

$$\frac{1 + \sin 2a}{\cos 2a} = \operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} + a \right)$$

Шаг 1: Преобразуем числитель

$$1 + \sin 2a = \cos^2 a + \sin^2 a + 2 \sin a \cos a = (\cos a + \sin a)^2$$

Шаг 2: Знаменатель — формула косинуса двойного угла:

$$\cos 2a = \cos^2 a — \sin^2 a = (\cos a — \sin a)(\cos a + \sin a)$$

Шаг 3: Записываем дробь:

$$\frac{(\cos a + \sin a)^2}{(\cos a — \sin a)(\cos a + \sin a)} = \frac{\cos a + \sin a}{\cos a — \sin a}$$

Шаг 4: Записываем правую часть с помощью формулы тангенса суммы:

$$\operatorname{tg} \left( \frac{\pi}{4} + a \right) = \frac{\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} \frac{\pi}{4} \cdot \operatorname{tg} a} = \frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a}$$

Шаг 5: Записываем дробь через косинус и синус:

$$\frac{1 + \operatorname{tg} a}{1 — \operatorname{tg} a} = \frac{1 + \frac{\sin a}{\cos a}}{1 — \frac{\sin a}{\cos a}} = \frac{\frac{\cos a + \sin a}{\cos a}}{\frac{\cos a — \sin a}{\cos a}} = \frac{\cos a + \sin a}{\cos a — \sin a}$$

Итог:

$$\frac{\cos a + \sin a}{\cos a — \sin a} = \frac{\cos a + \sin a}{\cos a — \sin a}$$

Тождество доказано.