ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 283 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, при каких значениях x имеет смысл выражение (283- 284).

1. log6(49-x2);
2. log7(x2+x-6);
3. log1/5(x2+2x+7).

1. $\log_6 (49 — x^2)$;

   Выражение имеет смысл при:

   $49 — x^2 > 0$;

   $x^2 — 49 < 0$;

   $(x + 7)(x — 7) < 0$;

   $-7 < x < 7$;

   Ответ: $-7 < x < 7$.

2. $\log_7 (x^2 + x — 6)$;

   Выражение имеет смысл при:

   $x^2 + x — 6 > 0$;

   $D = 1^2 + 4 \cdot 6 = 1 + 24 = 25$, тогда:

   $x_1 = \frac{-1 — 5}{2} = -3$ и $x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = 2$;

   $(x + 3)(x — 2) > 0$;

   $x < -3$ и $x > 2$;

   Ответ: $x < -3$; $x > 2$.

3. $\log_{\frac{1}{5}} (x^2 + 2x + 7)$;

   Выражение имеет смысл при:

   $x^2 + 2x + 7 > 0$;

   $D = 2^2 — 4 \cdot 7 = 4 — 28 = -24 < 0$;

   $a = 1 > 0$, значит $x$ — любое число;

   Ответ: при любом $x$.

1) $\log_6 (49 — x^2)$

Шаг 1: Условие существования логарифма

Логарифм $\log_a(b)$ определён только тогда, когда:

• $a > 0$, $a \ne 1$ — это верно для основания $6$,
• и подлогарифмическое выражение строго положительно, т.е.

  $$49 — x^2 > 0$$

Шаг 2: Решаем неравенство

$$49 — x^2 > 0 \Rightarrow -x^2 > -49 \Rightarrow x^2 < 49$$

Это квадратное неравенство:

$$x^2 < 49$$

Решаем его:

• Представим в виде:

  $$x^2 — 49 < 0 \Rightarrow (x — 7)(x + 7) < 0$$

Шаг 3: Анализ знаков на числовой прямой

Корни: $-7$ и $7$.
Метод интервалов:

• Интервалы: $(-\infty, -7)$, $(-7, 7)$, $(7, \infty)$
• Знаки выражения $(x + 7)(x — 7)$:
  • При $x < -7$: оба множителя отрицательны ⇒ произведение положительно.
  • При $-7 < x < 7$: один положительный, другой отрицательный ⇒ произведение отрицательно.
  • При $x > 7$: оба положительны ⇒ произведение положительно.

Нам нужно, чтобы выражение было меньше нуля, то есть:

$$(x + 7)(x — 7) < 0 \Rightarrow -7 < x < 7$$

Ответ:

$$\boxed{-7 < x < 7}$$

2) $\log_7 (x^2 + x — 6)$

Шаг 1: Условие существования логарифма

$$x^2 + x — 6 > 0$$

Шаг 2: Решим неравенство

Это квадратное неравенство. Сначала найдём корни уравнения:

$$x^2 + x — 6 = 0$$

Вычислим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25$$

Находим корни:

$$x_1 = \frac{-1 — \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 — 5}{2} = -3$$ $$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$$

Разложим квадратный трёхчлен:

$$x^2 + x — 6 = (x + 3)(x — 2)$$

Теперь решаем неравенство:

$$(x + 3)(x — 2) > 0$$

Шаг 3: Анализ на числовой прямой

Корни: $-3$, $2$
Интервалы: $(-\infty, -3)$, $(-3, 2)$, $(2, \infty)$

• При $x < -3$: оба множителя отрицательны ⇒ произведение положительно.
• При $-3 < x < 2$: один множитель положительный, другой отрицательный ⇒ произведение отрицательно.
• При $x > 2$: оба положительны ⇒ произведение положительно.

Значит, неравенство выполняется на:

$$x < -3 \quad \text{и} \quad x > 2$$

Ответ:

$$\boxed{x < -3;\quad x > 2}$$

3) $\log_{\frac{1}{5}} (x^2 + 2x + 7)$

Шаг 1: Условие существования логарифма

Подлогарифмическое выражение должно быть строго положительным:

$$x^2 + 2x + 7 > 0$$

Шаг 2: Анализ выражения

Это квадратный трёхчлен. Найдём дискриминант:

$$D = 2^2 — 4 \cdot 1 \cdot 7 = 4 — 28 = -24 < 0$$

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
А ведущий коэффициент $a = 1 > 0$ ⇒ парабола направлена вверх ⇒ ветви вверх.

Следовательно, выражение всегда положительно:

$$x^2 + 2x + 7 > 0 \quad \text{при любом } x \in \mathbb{R}$$

Шаг 3: Проверка основания логарифма

Основание $\frac{1}{5} < 1$, но $> 0$, и $\ne 1$ — всё верно.

Ответ:

$$\boxed{\text{при любом } x}$$