ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1273 Алимов — Подробные Ответы

1. log4sinпи/4;
2. log10tgпи/4;
3. log8sin3пи/4;
4. log2cosпи/3;
5. lo3(1)-log4tgпи/4*log5cos0.

${\mathrm{1)\; log}}_4\sin \frac{\pi }{4}={\log }_4\frac{1}{\sqrt{2}}={\log }_{2^2}{2}^{-\frac{1}{2}}={\log }_{2^2}(2^2{)}^{-\frac{1}{4}}=-\frac{1}{4}$

Ответ: $-\frac{1}{4}$

${\mathrm{2)\; log}}_{10}\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}={\log }_{10}1={\log }_{10}{10}^0=0$

Ответ: $0$.

${\mathrm{3)\; log}}_8\sin \frac{3\pi }{4}={\log }_8\sin (\pi -\frac{\pi }{4})={\log }_8\sin \frac{\pi }{4}={\log }_8\frac{1}{\sqrt{2}}={\log }_{2^3}{2}^{-\frac{1}{2}}={\log }_{2^3}(2^3{)}^{-\frac{1}{6}}=-\frac{1}{6}$

Ответ: $-\frac{1}{6}$.

${\mathrm{4)\; log}}_2\cos \frac{\pi }{3}={\log }_2\frac{1}{2}={\log }_2{2}^{-1}=-1$

Ответ: $-1$.

${\mathrm{5)\; log}}_{3}1-{\log }_4\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}\cdot {\log }_5\cos 0={\log }_3{3}^0-{\log }_{4}1\cdot {\log }_{5}1=0-{\log }_4{4}^0\cdot {\log }_5{5}^0=0-0\cdot 0=0$

Ответ: $0$.

Задача 1:

$${\log }_4\sin \frac{\pi }{4}$$

1.1 Выражение $\sin \frac{\pi }{4}$

Сначала находим значение $\sin \frac{\pi }{4}$. Известно, что:

$$\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

1.2 Перевод в основание 4

Теперь вычислим ${\log }_4\frac{1}{\sqrt{2}}$. Чтобы это сделать, используем связь между логарифмами разных оснований. Логарифм с основанием 4 можно выразить через логарифм с основанием 2:

$${\log }_{4}x=\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}4}$$

Поскольку ${\log }_{2}4=2$, получаем:

$${\log }_4\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{{\log }_2\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}$$

1.3 Вычисление ${\log }_2\frac{1}{\sqrt{2}}$

Теперь нужно найти ${\log }_2\frac{1}{\sqrt{2}}$. Мы знаем, что:

$$\frac{1}{\sqrt{2}}=2^{-\frac{1}{2}}$$

Тогда:

$${\log }_2\frac{1}{\sqrt{2}}={\log }_2{2}^{-\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}$$

1.4 Подставляем в выражение

Теперь подставим это значение в выражение для логарифма:

$${\log }_4\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{-\frac{1}{2}}{2}=-\frac{1}{4}$$

Ответ:

$$-\frac{1}{4}$$

Задача 2:

$${\log }_{10}\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$$

2.1 Вычисление $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$

Для вычисления тангенса угла $\frac{\pi }{4}$ используем известное значение:

$$\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$$

2.2 Подставляем в логарифм

Теперь вычислим:

$${\log }_{10}1$$

Известно, что:

$${\log }_{10}1=0$$

Ответ:

$$0$$

Задача 3:

$${\log }_8\sin \frac{3\pi }{4}$$

3.1 Выражение $\sin \frac{3\pi }{4}$

Используем формулу для синуса угла, который больше $\pi$:

$$\sin (\pi -x)=\sin x$$

Таким образом:

$$\sin \frac{3\pi }{4}=\sin (\pi -\frac{\pi }{4})=\sin \frac{\pi }{4}$$

Известно, что:

$$\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

3.2 Перевод в основание 8

Теперь нужно вычислить ${\log }_8\frac{1}{\sqrt{2}}$. Сначала выразим логарифм с основанием 8 через логарифм с основанием 2:

$${\log }_{8}x=\frac{{\log }_{2}x}{{\log }_{2}8}$$

Поскольку ${\log }_{2}8=3$, получаем:

$${\log }_8\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{{\log }_2\frac{1}{\sqrt{2}}}{3}$$

3.3 Вычисление ${\log }_2\frac{1}{\sqrt{2}}$

Мы уже нашли, что:

$${\log }_2\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$$

3.4 Подставляем в выражение

Теперь подставим это значение в выражение для логарифма:

$${\log }_8\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{-\frac{1}{2}}{3}=-\frac{1}{6}$$

Ответ:

$$-\frac{1}{6}$$

Задача 4:

$${\log }_2\cos \frac{\pi }{3}$$

4.1 Вычисление $\cos \frac{\pi }{3}$

Известно, что:

$$\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$$

4.2 Выражение ${\log }_2\frac{1}{2}$

Теперь вычислим:

$${\log }_2\frac{1}{2}$$

Мы знаем, что $\frac{1}{2}=2^{-1}$, следовательно:

$${\log }_2\frac{1}{2}={\log }_2{2}^{-1}=-1$$

Ответ:

$$-1$$

Задача 5:

$${\log }_{3}1-{\log }_4\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}\cdot {\log }_5\cos 0$$

5.1 Вычисление ${\log }_{3}1$

Значение ${\log }_{3}1$ известно:

$${\log }_{3}1=0$$

5.2 Вычисление ${\log }_4\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$

Для $\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}$ уже известно, что:

$$\mathrm{tg}\frac{\pi }{4}=1$$

Таким образом:

$${\log }_{4}1=0$$

5.3 Вычисление ${\log }_5\cos 0$

Для $\cos 0$ знаем, что:

$$\cos 0=1$$

Таким образом:

$${\log }_{5}1=0$$

5.4 Подстановка в выражение

Теперь подставим все полученные значения:

$${\log }_{3}1-{\log }_{4}1\cdot {\log }_{5}1=0-0\cdot 0=0$$

Ответ:

$$0$$