ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 850 Алимов — Подробные Ответы

1.

$$f(x) = \frac{e^x — e^{-x}}{x}$$ $$f'(x) = \frac{(e^x — e^{-x})’ \cdot x — (e^x — e^{-x}) \cdot (x)’}{x^2}$$ $$f'(x) = \frac{(e^x + e^{-x}) \cdot x — (e^x — e^{-x}) \cdot 1}{x^2}$$ $$f'(x) = \frac{x e^x + x e^{-x} — e^x + e^{-x}}{x^2}$$ $$f'(x) = \frac{e^x (x — 1) + e^{-x} (x + 1)}{x^2}$$

2.

$$f(x) = \frac{2^x — \log_2 x}{\ln 2 \cdot x}$$ $$f'(x) = \frac{(2^x — \log_2 x)’ \cdot (\ln 2 \cdot x) — (2^x — \log_2 x) \cdot (\ln 2 \cdot x)’}{(\ln 2 \cdot x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{\left(2^x \cdot \ln 2 — \frac{1}{x \ln 2}\right) (\ln 2 \cdot x) — \left(2^x — \frac{\ln x}{\ln 2}\right) \cdot \ln 2}{(\ln 2 \cdot x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2^x \cdot x \ln^2 2 — 1 — 2^x \cdot \ln 2 + \ln x}{(\ln 2 \cdot x)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2^x \cdot \ln 2 \cdot (x \ln 2 — 1) + \ln x — 1}{x^2 \cdot \ln^2 2}$$

1. $f(x) = \frac{e^x — e^{-x}}{x}$

Для нахождения производной этой функции применим правило дифференцирования дроби, которое записывается как:

$$f'(x) = \frac{(u'(x) \cdot v(x) — u(x) \cdot v'(x))}{(v(x))^2}$$

где:

• $u(x) = e^x — e^{-x}$
• $v(x) = x$

Шаг 1: Находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$

• Производная $u(x) = e^x — e^{-x}$:

  $$u'(x) = e^x + e^{-x}$$

• Производная $v(x) = x$:

  $$v'(x) = 1$$

Шаг 2: Подставляем в формулу для производной

Теперь подставим полученные производные в общую формулу:

$$f'(x) = \frac{(e^x + e^{-x}) \cdot x — (e^x — e^{-x}) \cdot 1}{x^2}$$

Шаг 3: Упростим числитель

Раскроем числитель:

$$f'(x) = \frac{x e^x + x e^{-x} — e^x + e^{-x}}{x^2}$$

Шаг 4: Собираем подобные члены

Перегруппируем члены:

$$f'(x) = \frac{e^x (x — 1) + e^{-x} (x + 1)}{x^2}$$

Итак, производная функции $f(x) = \frac{e^x — e^{-x}}{x}$ равна:

$$f'(x) = \frac{e^x (x — 1) + e^{-x} (x + 1)}{x^2}$$

2. $f(x) = \frac{2^x — \log_2 x}{\ln 2 \cdot x}$

Здесь также используем правило дифференцирования дроби. Введем обозначения для числителя и знаменателя:

$$u(x) = 2^x — \log_2 x, \quad v(x) = \ln 2 \cdot x$$

Шаг 1: Находим производные $u'(x)$ и $v'(x)$

• Производная $u(x) = 2^x — \log_2 x$:
  • Производная $2^x$ по $x$ равна $2^x \ln 2$.
  • Производная $\log_2 x$ равна $\frac{1}{x \ln 2}$.

  $$u'(x) = 2^x \ln 2 — \frac{1}{x \ln 2}$$

• Производная $v(x) = \ln 2 \cdot x$:

  $$v'(x) = \ln 2$$

Шаг 2: Подставляем в формулу для производной

Теперь подставляем все значения в формулу для производной:

$$f'(x) = \frac{(2^x \ln 2 — \frac{1}{x \ln 2}) \cdot (\ln 2 \cdot x) — (2^x — \frac{\ln x}{\ln 2}) \cdot \ln 2}{(\ln 2 \cdot x)^2}$$

Шаг 3: Упростим числитель

Давайте упростим числитель:

1. Раскрываем первую часть числителя:

   $$(2^x \ln 2 — \frac{1}{x \ln 2}) \cdot (\ln 2 \cdot x) = 2^x \cdot x \ln^2 2 — \frac{1}{x \ln 2} \cdot \ln 2 \cdot x = 2^x \cdot x \ln^2 2 — \frac{1}{\ln 2}$$

2. Раскрываем вторую часть числителя:

   $$(2^x — \frac{\ln x}{\ln 2}) \cdot \ln 2 = 2^x \cdot \ln 2 — \ln x$$

Теперь собираем все это вместе:

$$f'(x) = \frac{2^x \cdot x \ln^2 2 — \frac{1}{\ln 2} — 2^x \cdot \ln 2 + \ln x}{(\ln 2 \cdot x)^2}$$

Шаг 4: Упростим выражение

Упростим выражение в числителе, группируя подобные члены:

$$f'(x) = \frac{2^x \cdot \ln 2 \cdot (x \ln 2 — 1) + \ln x — 1}{x^2 \cdot \ln^2 2}$$

Итак, производная функции $f(x) = \frac{2^x — \log_2 x}{\ln 2 \cdot x}$ равна:

$$f'(x) = \frac{2^x \cdot \ln 2 \cdot (x \ln 2 — 1) + \ln x — 1}{x^2 \cdot \ln^2 2}$$

Итоговое решение:

1. Для функции $f(x) = \frac{e^x — e^{-x}}{x}$ производная:

$$f'(x) = \frac{e^x (x — 1) + e^{-x} (x + 1)}{x^2}$$

2. Для функции $f(x) = \frac{2^x — \log_2 x}{\ln 2 \cdot x}$ производная:

$$f'(x) = \frac{2^x \cdot \ln 2 \cdot (x \ln 2 — 1) + \ln x — 1}{x^2 \cdot \ln^2 2}$$