ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 478 Алимов — Подробные Ответы

Упростить выражение:

1. (sin3(-a) + cos3(-a))/(1-sin(-a) * cos(-a));
2. (1-sina+cos(-a))2)/(-sin(-a)).

1.

$$\frac{\sin^3(-a) + \cos^3(-a)}{1 — \sin(-a) \cdot \cos(-a)} = \frac{(-\sin a)^3 + \cos^3 a}{1 — (-\sin a) \cdot \cos a} =$$ $$= \frac{-\sin^3 a + \cos^3 a}{1 + \sin a \cdot \cos a} = \frac{(\cos a — \sin a)(\cos^2 a + \cos a \cdot \sin a + \sin^2 a)}{1 + \sin a \cdot \cos a} =$$ $$= \frac{(\cos a — \sin a)(1 + \sin a \cdot \cos a)}{1 + \sin a \cdot \cos a} = \cos a — \sin a;$$

Ответ: $\cos a — \sin a$.

2.

$$\frac{1 — (\sin a + \cos(-a))^2}{-\sin(-a)} = \frac{1 — (\sin a + \cos a)^2}{-(-\sin a)} =$$ $$= \frac{1 — (\sin^2 a + 2 \sin a \cdot \cos a + \cos^2 a)}{\sin a} = \frac{1 — (1 + 2 \sin a \cdot \cos a)}{\sin a} =$$ $$= \frac{-2 \sin a \cdot \cos a}{\sin a} = -2 \cos a;$$

Ответ: $-2 \cos a$.

1)

$$\frac{\sin^3(-a) + \cos^3(-a)}{1 — \sin(-a) \cdot \cos(-a)}$$

Шаг 1: Применяем свойства чётности и нечётности функций

• $\sin(-a) = -\sin a$
• $\cos(-a) = \cos a$

Тогда:

$$\sin^3(-a) = (\sin(-a))^3 = (-\sin a)^3 = -\sin^3 a$$ $$\cos^3(-a) = (\cos(-a))^3 = (\cos a)^3 = \cos^3 a$$

Подставляем в числитель и знаменатель:

$$\frac{-\sin^3 a + \cos^3 a}{1 — (-\sin a) \cdot \cos a} = \frac{\cos^3 a — \sin^3 a}{1 + \sin a \cdot \cos a}$$

Шаг 2: Распознаём формулу разности кубов в числителе

Формула разности кубов:

$$x^3 — y^3 = (x — y)(x^2 + xy + y^2)$$

Здесь:

$$x = \cos a, \quad y = \sin a$$

Поэтому:

$$\cos^3 a — \sin^3 a = (\cos a — \sin a)(\cos^2 a + \cos a \sin a + \sin^2 a)$$

Шаг 3: Используем основное тригонометрическое тождество

$$\cos^2 a + \sin^2 a = 1$$

Значит:

$$\cos^2 a + \cos a \sin a + \sin^2 a = 1 + \sin a \cos a$$

Шаг 4: Подставляем это в числитель

$$(\cos a — \sin a)(1 + \sin a \cos a)$$

Таким образом дробь принимает вид:

$$\frac{(\cos a — \sin a)(1 + \sin a \cos a)}{1 + \sin a \cos a}$$

Шаг 5: Сокращаем числитель и знаменатель

При условии, что $1 + \sin a \cos a \neq 0$, сокращаем:

$$\cos a — \sin a$$

Ответ:

$$\boxed{\cos a — \sin a}$$

2)

$$\frac{1 — (\sin a + \cos(-a))^2}{-\sin(-a)}$$

Шаг 1: Подставляем свойства чётности/нечётности

$$\cos(-a) = \cos a, \quad \sin(-a) = -\sin a$$

Подставляем:

$$\frac{1 — (\sin a + \cos a)^2}{-(-\sin a)} = \frac{1 — (\sin a + \cos a)^2}{\sin a}$$

Шаг 2: Раскрываем квадрат в числителе

$$(\sin a + \cos a)^2 = \sin^2 a + 2 \sin a \cos a + \cos^2 a$$

Шаг 3: Используем основное тригонометрическое тождество

$$\sin^2 a + \cos^2 a = 1$$

Подставляем:

$$(\sin a + \cos a)^2 = 1 + 2 \sin a \cos a$$

Шаг 4: Подставляем обратно в числитель

$$1 — (1 + 2 \sin a \cos a) = 1 — 1 — 2 \sin a \cos a = -2 \sin a \cos a$$

Шаг 5: Итоговое выражение

$$\frac{-2 \sin a \cos a}{\sin a}$$

Шаг 6: Сокращаем $\sin a$, при условии $\sin a \neq 0$

$$-2 \cos a$$

Ответ:

$$\boxed{-2 \cos a}$$