ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 1554 Алимов — Подробные Ответы

Найти значения х, для которых производная функции f(x) = (х — 1) (х — 2) (х — 3) равна -1.

Дана функция:

$$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3) = (x^2 — 2x — x + 2)(x-3) =$$ $$= (x^2 — 3x + 2)(x-3) = x^3 — 3x^2 — 3x^2 + 9x + 2x — 6 =$$ $$= x^3 — 6x^2 + 11x — 6;$$

Производная функции:

$$f'(x) = (x^3)’ — 6(x^2)’ + (11x — 6)’;$$ $$f'(x) = 3x^2 — 6 \cdot 2x + 11 = 3x^2 — 12x + 11;$$

Производная равна (-1) при:

$$3x^2 — 12x + 11 = -1;$$ $$3x^2 — 12x + 12 = 0;$$ $$x^2 — 4x + 4 = 0;$$ $$(x-2)^2 = 0;$$ $$x — 2 = 0, \text{отсюда } x = 2;$$

Ответ: $x = 2$.

Дано:

$$f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)$$

Шаг 1: Разкроем скобки и упростим выражение для $f(x)$

Наша цель — выразить функцию $f(x)$ в более простом виде, чтобы было удобно дифференцировать.

Начнем с первого произведения:

$$(x-1)(x-2) = x^2 — 2x — x + 2 = x^2 — 3x + 2.$$

Теперь умножим результат на $(x-3)$:

$$(x^2 — 3x + 2)(x-3) = x^2(x-3) — 3x(x-3) + 2(x-3).$$

Раскроем каждое произведение:

$$x^2(x-3) = x^3 — 3x^2,$$ $$-3x(x-3) = -3x^2 + 9x,$$ $$2(x-3) = 2x — 6.$$

Теперь сложим все эти части:

$$f(x) = x^3 — 3x^2 — 3x^2 + 9x + 2x — 6 = x^3 — 6x^2 + 11x — 6.$$

Таким образом, упрощенная форма функции $f(x)$ выглядит так:

$$f(x) = x^3 — 6x^2 + 11x — 6.$$

Шаг 2: Находим производную функции $f(x)$

Теперь перейдем к вычислению производной функции $f(x)$. Для этого будем использовать стандартные правила дифференцирования:

• Производная $x^n$ равна $n x^{n-1}$,
• Производная от константы $c$ равна 0.

Дифференцируем каждый элемент функции $f(x) = x^3 — 6x^2 + 11x — 6$:

Производная $x^3$:

$$(x^3)’ = 3x^2.$$

Производная $-6x^2$:

$$(-6x^2)’ = -6 \cdot 2x = -12x.$$

Производная $11x$:

$$(11x)’ = 11.$$

Производная $-6$ (константы):

$$(-6)’ = 0.$$

Таким образом, производная функции $f(x)$ будет:

$$f'(x) = 3x^2 — 12x + 11.$$

Шаг 3: Находим $x$, при котором производная равна -1

Нам нужно найти значение $x$, при котором производная $f'(x)$ равна -1. То есть решим уравнение:

$$3x^2 — 12x + 11 = -1.$$

Переносим -1 в левую часть уравнения:

$$3x^2 — 12x + 12 = 0.$$

Теперь решим это квадратное уравнение. Разделим обе стороны на 3:

$$x^2 — 4x + 4 = 0.$$

Это уравнение можно решить методом выделения полного квадрата:

$$(x — 2)^2 = 0.$$

Следовательно, $x — 2 = 0$, и решение:

$$x = 2.$$

Шаг 4: Ответ

Таким образом, значение $x$, при котором производная функции $f(x)$ равна -1, равно:

$$x = 2.$$